高中数学人教A版2019必修第二册 8.4.1《平面》教学设计二

《平面》教学设计二
教学设计
一、问题导入
问题1：观察图中的房屋，有你熟悉的空间图形吗？
进一步用几何画板动态演示从该物体中抽取一个长方体出来，追问：长方体是由哪些几何元素构成的？
点、直线、平面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界.在初中，关于点和直线，我们已经详细研究过了，那么今天就和大家一起来探讨一下平面及其基本性质.
设计意图：从整体到局部，从现实世界中抽象出数学模型，这么一栋赏心悦目的别墅竟然是由一些几何体组成的，让学生感受到自己生活在一个充满几何体的世界里！那么这些几何体到底是怎样的结构呢？接着，以学生熟悉的长方体为载体，提出新的问题，激发学生的兴趣，让学生感到学习数学是必要的、有用的.
二、平面概念的生成
问题2：（1）生活中有哪些例子给了我们直线的形象？
（2）直线有哪些基本特征？（3）怎么表示直线？
学生通过讨论给出如黑板的边缘、笔直的铁轨等都给我们以直线的形象，从而教师明确数学中的“直线”就是从同学们所举的例子中抽象出来的.学生进而给出直线的基本特征如：①直的；②向两边无限延伸；③无粗细.回忆直线的表示方法：几何上用线段表示直线，但是两边可以无限延长；符号表示是直线AB或者直线.
设计意图：“抱住”直线学平面！学生曾经学习过直线这一概念，这是他们已有的经验.任何人在学习时总会与自己已有的知识相联系.把直线这一原始概念议论透.对直线概念的研究方法可以类比、迁移到对平面概念的研究中，这也有助学生理解抽象的平面概念，板书时将以上内容作为一列写在黑板的左边，最上边写直线二字；之后，右边写上与直线相对应的平面的有关内容，最上边写平面二字，形成类比直线认识平面的效果.
问题3：（1）生活中有哪些例子给了我们平面的形象？
（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？
学生交流举出“桌面”“黑板面”“光滑的玻璃”“平静的水面”等，都给我们以平面的形象再从这些直观印象中抽象出几何里所说的“平面”.类比直线这一原始概念，不难得出平面具有“平的、无限延展、没有厚薄”的基本特征.再通过类比画线段表示直线，我们画矩形表示平面—观察角度原因—水平放置—成为平行四边形.符号上：类比直线的表示方法，如图，将平面记作：平面ABCD，平面AC或平面BD，平面.
设计意图：纵观平面概念的生成过程，我们通过类比直线认识了平面，学生体会到概念形成过程是自然的，对概念理解达到概念学习的水平.同时把直观与抽象，比较与类比这些思维方法贯穿于教学之中.
三、平面基本性质的探究
1.基本事实1.
师：两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？
生：不能
老师继续提问：“在空间中至少需要几个点才能确定一个平面？是三个呢？还是四个、五个呢？”
两位同学为一组，动手做数学实验1.
数学实验1：用手指头将一块硬纸板平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？
引导学生归纳出基本事实1.
设计意图：在动手操作、观察感悟中获取新知，通过做数学实验，让学生感受满足什么条件才可以确定一个平面，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到该基本事实1的正确性.
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
预设：学生可能会忽略“不在同一条直线上”，教师提出问题：在同一直线上的三点，能否确定一个平面？学生回答不行，进一步让学生举出反例，也有学生可能会疑惑为什么是“三点可以确定一个平面？四点、五点可以吗？”另外，通过提问“经过不在同一条直线上的三点的平面只有一个吗？”让学生感受到“有且只有”的内涵.
师生共同探究：如何用图形语言表示基本事实1，及基本事实1的作用？
（因为学生第一次碰到文字语言转换为图形语言，确实对他们来说是一个难点）
设计意图：给学生时间思考，画出图形，体会图形的直观.
师生共同体会基本事实1在生活中的简单应用.比如相机、测量仪器的三脚架定位、三角形所在平面的稳定性等都是基本事实1的实际应用.
基本事实1的内容不仅给出了确定一个平面的依据即“过不在一条直线的三点有一个平面”；而且给出了这样的平面具有唯一性，即“有且只有一个平面”.另外，该基本事实还可以判断直线与平面的位置关系，如不共线的三点中任意取两点可以确定一条直线，则这条直线一定在不共线的三点确定的平面内，从而为学习基本事实2打下铺垫.
2.基本事实2.
确定“平面”以后，接下来我们就会想到“点”“线”和新的对象“面”之间有什么关系了，我们主要探讨线与面，面与面的关系.
对新对象（平面）与已经有的对象（直线）关系的关注—满足什么条件就可以说直线在平面内呢？
数学实验2：如果把硬纸板看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：
（1）你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？
（2）你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？
引导学生归纳出平面的基本事实2.
设计意图：通过笔和硬纸板直观感知原本难以想象的直线和平面的关系，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到基本事实2的正确性.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
师生共同探究：如何用图形语言表示？
师生共同探究：数学符号更简洁，如何用符号语言表示？
设计意图：点与面、直线与面之间用数学符号表示，让学生点燃思维的火花，体会线、面都是点的集合，所以可以借助集合语言表示.
用课件展示长方体中点、线、面的位置关系，用集合符号表示，由学生总结
设计意图：进一步熟悉符号语言，也为以后符号语言的使用打下坚实的基础.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
如图.
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作用：判断直线是否在平面内.
最后回到基本事实2的三种表示，总结三种语言的特点和基本事实2的作用.
基本事实2为我们提供了一种判断直线是否在平面内的方法，同时也为我们在纸面上画一条直线在平面内提供了理论依据.进一步分析，直线是向两边无限延伸的，无限延伸的直线放在平面上，说明平面也是向四周无限延展的.基本事实2用直线的“无限延伸性”来检查平面的“无限延展性”.
师生共同体会基本事实2在生活中的简单应用.比如工人用直棒检查墙面是否平整，木匠将绳子拉紧，将两端置于桌旁，通过是否漏光来检查桌面是否平整.
基本事实2用直线的“直”来检查平面的“平”.
在此，向学生介绍平面的数学史.其实，早在几千年前，数学家们就尝试着用“点”“直线”去描述平面.例如沃尔夹岗·鲍耶关于平面的定义可以确定平面是真实存在的，在讲解时，教师借助几何画板演示，让学生直观感知平面的形成过程.
设计意图：对于“平面”这个极其抽象的概念，教材没有说明其存在性，使得学生对面的存在性产生疑惑，这会影响学生对平面三个基本事实的学习.此环节让学生真切感受到平面的存在，点动成线，线动成面！
研究活动：课后请同学们查阅相关书籍，借助网络，了解平面概念的发展史，撰写研究报告.
设计意图：通过了解平面的数学史，让学生了解自己出现的困惑，其实数学家们也同样经历过，借此活动向学生传达这样一个事实：无论是赫赫有名的数学家，还是普通的人，对事物的认识都经历着从不准确到准确最后到完善的过程，而真正起到决定作用的是人类的执着精神！
3.基本事实3.
数学实验3：把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
引导学生归纳出平面的基本事实3.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
预设：可能学生在归纳基本事实3时会忽略“有且只有”，教师可通过提问：“两个不重合的平面，如果有一个公共点，因为平面是向四周无限延展的，那么一定有一条过该点的公共直线.它们还有除了这条交线以外的公共点吗？”帮助学生理解“有且只有”的内涵.
师生共同探究：如何用图形语言和符号语言来表示？
（三个基本事实中最难的就是基本事实3的图形语言和符号语言的转化，在教学时可以用硬纸板做一个两平面相交的模型，再用课件来展示相交的画法，让学生直观感受，继而画出正确的图形，来突破难点）
教师用教具摆出不同的两个平面相交的状态，让学生观察并作图，师生共同评价修改.
设计意图：提高空间想象能力是立体几何教学的主要目的.因此，在本节课中应突出作图，这是帮助学生形成空间观念的有效途径.
师生共同体会基本事实3的作用.
思考：如果一个曲面和一个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线这个说法是否正确，请说明理由.
教师指出：在几何中，借助点、直线、平面的相互位置关系能刻画平面的“平”.支撑平面三个基本事实成立的基本条件是平面必须是“平”的.
设计意图：学生对平面的认识还是停留在视觉印象和感性状态，根本谈不上从数学角度审视平面的特征，正面去说明平面的“平”相对较难，根据“正难则反”的原则，先从“不平”下手，再通过否定之否定，最终达成“平”的目的.通过“背景（生活实例）——否定（说明不平）——性质（三个基本事实）——再否定（正面定义）”帮助学生理解平面的“平”.
思考：利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，能得到哪些确定一个平面的方法呢？
学生先思考，然后师生共同总结出三个推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
设计意图：通过剖析两个基本事实，再结合“两点确定一条直线”得出三个推论，进一步帮助学生理解知识点，提升逻辑推理素养.
巩固练习：判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点.（ ）
（2）三点确定一个平面.（ ）
（3）经过两条相交直线有且只有一个平面.（ ）
（4）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.（ ）
设计意图：通过练习，加深学生对三个基本事实的认识.
四、课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？
师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见.
知识：通过这节课的学习，我们认识了平面及其基本的特征，初步感知了点、直线、平面之间的位置关系，并通过研究得到了三个基本事实及其三个推论.
方法：在本节课中，我们经历从具体与抽象、类比与比较的方法认识了新的几何元素“平面”及其性质，同时还学习了用三种数学语言来表示这些知识.希望大家通过今天的学习能够初步建立起空间的观念.
思想：基本事实的出现，是一个由无到有的过程，并通过逐渐演绎推理，由少到多，由简到繁，进而得到我们现在学习、研究的几何体系，我们可以称这种思想方法为公理化思想.
实际上，今天我们不仅仅是在研究平面及其三个基本事实，也经历了基本事实的形成过程，即实验操作，直观感受，文字描述，图形、符号表示.
思考：继续用类比的思想、联系的观点，以及延续本节课研究三个基本事实的基本套路，你预见我们研究线面平行、线面垂直等判定定理与性质时可从什么地方入手？
设计意图：（1）本节课用了较大的精力去抽象基本事实，一方面，希望学生能够认识到探索过程的价值；另一方面，希望学生通过这节课，经历基本事实的形成过程，体会其中蕴涵的合理的思维方式和数学思想，从而得到研究新事物的基本套路.（2）为检查学生对本节课的学习认识深度的理解水平，以及继续激发与保护学生的探索兴趣，教师引导学生预见继续研究几何中定理、性质的方向.
板书设计
8.4.1平面一、问题引入二、平面概念的生成三、平面基本性质的探究基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面四、课堂小结
教学研讨
本案例构思巧妙、设计合理，亮点很多，比如问题3：“（1）生活中有哪些例子给了我们平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？”通过类比直线认识了平面，概念形成过程非常自然，同时把直观与抽象、比较与类比这些思维方法贯穿于教学之中，最主要做法是让学生在对问题探究解决中领悟知识、形成能力，可以充分调动学生的学习积极性，让学生在主动参与探索中思维获得提高，能力得到展现，知识得到升华.
在内容上，三个基本事实的文宇语言、数学语言、图形语言的转换相对学生来说是比较困难的，注意不要直接将各种语言强加给学生，尽量和学生一起进行共同探究，充分把话语权还给学生，让同学与同学之间进行交流，教师不失时机地进行导与学，把问题导学转化为问题学习上，从而突破难点.
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