高中数学人教A版2019必修第二册 8.4.1 《空间点、直线、平面之间的位置关系》课时2 教学设计

《空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计
课时2 空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.平面 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 逻辑推理 数学抽象 【考查内容】 1.两条直线的位置关系 2.直线、平面之间的位置关系 通常与直线、平面之间的平 行与垂直的判定及其性质 相结合考查 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.平面的3个基本事实及其推论 直观想象 逻辑推理
3.空间中直线与直线的位置关系 直观想象 逻辑推理
4.空间中直线与平面的位置关系 直观想象 逻辑推理
5.空间中平面与平面的位置关系 直观想象 逻辑推理
一、本节内容分析
在前面几节的学习过程中,经历了对空间几何体的整体认识,包括认识空间几何体的结构特征,会画它们的直观图,计算它们的表面积和体积等.本节教材将在研究平面及其基本性质的基础上,以长方体为载体,直观认识和描述空间中点、直线、平面的位置关系,给学生一个空间直线、平面位置关系的整体认识,逐步改变学生习惯于在个平面内考虑问题的状态,以便发展学生的直观想象核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.平面 2.平面的3个基本事实及其推论 3.空间中直线与直线的位置关系 4.空间中直线与平面的位置关系 5.空间中平面与平面的位置关系 直观想象 逻辑推理 数学抽象 核心素养
二、学情整体分析
在初中,学生初步学面几何的相关知识,掌握了平面内点、直线的概念和性质,学生对平面几何已有定的分析和推理,初步具备了学习点、直线、平面之间位置关系的能力,但学生以前接触的大多是平面内的位置关系的问题,习惯于在平面上解决问题,空间想象能力、思维能力较弱,这就需要教师做好引导.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.平面
2.平面的3个基本事实及其推论
3.空间中直线与直线的位置关系
4.空间中直线与平面的位置关系
5.空间中平面与平面的位置关系
【教学目标设计】
1.能识别平面与平面图形,会画相交平面;会利用三个基本事实及其推论证明共点、共线、共面问题;会用三种语言的转化.
2.了解空间中直线与直线的位置关系,了解空间中直线与平面的位置关系,了解空间中平面与平面的位置关系.
【教学策略设计】
1.本节知识与实际联系密切,无论是对平面概念的抽象,对三个基本事实的理解,还是直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等,都可以在学生的生活世界中找到模型,在教学中要加强模型意识的培养,引导学生多从实际出发.
2.本节描述定义、定理、性质时,开始借助几何语言描述几何对象之间的关系,学生比较陌生,教学中应注意将符号语言与图形语言、文字语言相结合,注意这几种语言的综合运用,使其优势互补,以帮助学生克服这一难点.
【教学方法建议】
演示教学法、探究教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 平面基本性质(三个基本事实)及其推论,空间直线、平面的位置关系
难点 对三个基本事实刻画平面基本性质的理解,三种语言(图形语言、文字语言、符号语言)及其相互转化.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
探究1 空间中直线与直线之间的位置关系
前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系,如点在平面内,直线在平面内,两个平面相交,等等.空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗 本节课将带大家研究这些问题.
师:请同学们观察长方体,你能发现空间中点与直线有哪几种位置关系 点与平面有哪几种位置关系
【师生活动】学生观察、思考、讨论、交流后回答,老师给予评价讲解.
空间中点与直线的位置关系:(1)点在直线上;(2)点在直线外.
空间中点与平面的位置关系:(1)点在平面内;(2)点在平面外.
师:下面请同学们思考两个问题.
【师生活动】教师出示多媒体,学生讨论回答下面的问题.
【设情境 巧激趣】
通过学生对平面内两条直线的位置关系的了解,推广到空间中两条直线的位置关系,以旧导新,激发学生的学习积极性
教学精讲
【情景设置】
空间直线与直线之间位置关系的引入
(1)在同一平面内,两条直线的位置关系有哪几种
(2)平面内的不平行的直线必相交,在空间还成立吗
生:在同一平面内两条直线不是相交就是平行,空间中不平行的直线不一定相交.
师:我们可以看到两条相交的直线有一个公共点,平行的直线没有公共点.
师:在空间中两条不平行的直线真的不一定相交吗 我们带着这个问题来进行下面的学习.
【师生活动】教师示意学生从不同角度观察长方体模型,也可以利用信息技术工具让长方体转动起来,学生从不同角度观察长方体模型,学生进行观察、思考、讨论、互相交流,得出下面的结论:两条直线在空间中的位置关系可以是既不平行也不相交.
根据学生讨论结果及其教师的引导,师生共同得出异面直线的含义,教师出示多媒体.
【要点知识】
异面直线的定义
异面直线:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
师:请同学们在教室里面找找异面直线的例子.
【师生活动】学生就教室中的灯管、黑板、课桌等找出许多异面直线.
师:请同学们观察长方体,你能发现空间中直线与直线有哪几种位置关系
【意义学习】
通过教师引导学生从不同角度观察正长方体模型,发现异面直线的本质特征,从而引出异面直线的概念
【观察记忆能力】
通过长方体模型,学生直观感知空间直线与直线的三种位置关系,培养了学生的观察记忆能力,提升学生的直观想象核心素养
生:空间中的直线有三种位置关系:平行、相交、异面.
【师生活动】教师根据学生的回答,引导学生分析总结出在哪些情况下两条直线可以异面,在哪些情况下可以平行或相交,教师出示空间中直线与直线的位置关系.
【要点知识】
空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线的位置关系有三种:
师:异面直线如何去画呢
【师生活动】教师强调异面直线不共面的特点,并指出画异面直线的注意事项,出示多媒体.
【概括理解能力】
通过学生的分析归纳得出空间中直线与直线的位置关系,凸显出异面直线的特征,从而得到异面直线的画法,整个过程旨在培养学生的概括理解能力以及提升逻辑推理、直观想象核心素养
【归纳总结】
异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点,通常用一个或两个平面来衬托,如图所示:
【概括理解能力】
通过学生的分析归纳得出空间中直线与直线的位置关系,凸显出异面直线的特征,从而得到异面直线的画法,整个过程旨在培养学生的概括理解能力以及提升逻辑推理、直观想象核心素养
探究2 空间中直线与平面的位置关系
师:我们仍然来看一下图中长方体,你能发现空间中直线与平面有哪些不同的位置关系
【师生活动】教师引导学生从与平面,与平面,与平面去观察发现,并将这三种情况分别与直线和平面的公共点的个数联系起来.
生:能发现与平面有无数个公共点,与平面ABCD没有公共点,与平面只有一个公共点.
师:实际上生活中随处可见反映直线与平面的位置关系的例子,现在请同学们拿出支笔与作业本,观察笔所在直线与作业本所在平面有几种位置关系
【师生活动】引导学生实际操作:拿出笔和作业本,观察它们可能出现的位置关系,并确认一条直线与一个平面的位置关系,并将这三种情况分别和直线与平面的公共点的个数联系起来.
生:我们观察到笔可以在作业本内,笔可以与作业本平行,笔可以与作业本相交.
师:由此我们可以归纳出直线与平面的位置关系有且只有三种.
【师生活动】教师请同学相互交流发言,并归纳出直线与平面的位置关系,教师随后出示多媒体.
【设活动 深探究】
提出问题,让学生通过观察长方体中的线面关系,总结直线与平面的位置关系,培养学生的概括理解能力,提升逻辑推理核心素养
【猜想探究能力】
在学生直观感知的基础上,让学生实际操作笔(直线)和作业本(平面)的位置关系,交流、归纳、探究出直线与平面的位置关系,提升学生的猜想探究能力
【要点知识】
空间中直线与平面的位置关系
1.直线在平面内——有无数个公共点.
2.直线和平面相交——有且只有一个公共点.
3.直线和平面平行——没有公共点.
师:那么直线与平面的三种位置关系的符号语言、图形语言该如何表示呢
【师生活动】学生自己动手画图表示,教师提示画图时的注意事项.
师:注意画直线在平面内时,要把直线画在表示平面的平行四边形内;画直线在平面外时,应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.
【师生活动】学生画完之后,教师给予积极评价,并出示直线与平面的三种位置关系的多媒体.
【简单问题解决能力】
通过学生画直线与平面的位置关系图,促进学生理解和掌握直线与平面位置关系图形语言与符号语言之间的相互转化,培养了学生的简单问题解决能力提升,了学生的直观想象、数学抽象核心素养
【要点知识】
空间中直线与平面位置关系的图形及符号表示
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
师:我们常把直线与平面相交或平行的情况称为直线在平面外,符号记作.
【观察记忆能力】
从对长方体的观察入手,使得学生直观感知平面与平面之间的位置关系,提高了学生的观察记忆能力
探究3 空间中平面与平面的位置关系
师:同学们,我们仍然观察长方体,你能发现空间中平面与平面有哪些不同的位置关系吗
【师生活动】教师引导学生从平面与平面,平面与平面去观察,类比直线与平面的位置关系,将平面与平面的位置关系与公共点的个数联系.
生:发现平面与平面是平行的,没有公共点,平面与平面有无数个公共点.
师:我们根据基本事实3,平面与平面有一条公共的直线.
师:接下来我们观察一下教室的墙壁与天花板,课桌与地面,发现它们之间的位置关系是什么
【师生活动】请学生自由交流发言.
生:墙壁与天花板相交,课桌与地面平行.
师:我们从实例中可以看出,平面与平面有几种位置关系
【师生活动】教师引导学生相互交流发言,并归纳出平面与平面的位置关系,教师随后出示多媒体课件.
【深度学习】
在学生直观感知的基础上,让学生通过实际观察确认现实当中平面与平面公共点的个数,从而归纳出平面与平面之间的位置关系,加深学生对空间平面之间位置关系的理解
【要点知识】
空间中平面与平面的位置关系
1.两个平面平行——没有公共点.
2.两个平面相交——有且只有一条公共直线.
师:那么平面与平面的两种位置关系的符号语言、图形语言该如何表示呢
【师生活动】请学生自己动手画图表示,教师提示画图时的注意事项.
师:画两个平面平行时,要注意使得两个平行四边形的对应四条边相互平行,这样能够增加图形的立体感.
【师生活动】学生画完之后,教师给予积极评价,并出示平面与平面两种位置关系的多媒体.
【要点知识】
空间中平面与平面位置关系的图形及符号表示
平面与平面平行 平面与平面相交
【概括理解能力】
通过学生画平面与平面的位置关系图,促进学生理解和掌握平面与平面位置关系图形语言与符号语言之间的相互转化
师:接下来请同学们看下面的例题.
【师生活动】教师出示例题,引导学生进行分析、思考.
【典型例题】
空间点、直线、平面之间的位置关系
例1 如图,用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
分析:首先根据图形判断直线、平面之间的位置美系,然后再用符号表示出来.
解:在(1)中,,,.
在(2)中,,,,,,.
【师生活动】学生独立完成,教师请同学板演,并出示正确答案对学生的答案给予积极评价.
师:接下来我们看下面的另外一道例题.
【概括理解能力】
通过例题使学生熟悉掌握空间中点、直线、平面之间的位置关系的符号语言与图形语言的表达方式及相互转化,锻炼了学生概括理解能力
【典型例题】
异面直线的判定
例2 如图直线与具有怎样的位置关系 为什么
解:直线与是异面直线理由如下.
若直线与直线不是异面直线,则它们相交或平行,设它们确定的平面为,则.由于经过点与直线有且仅有一个平面,因此平面与重合,从而,进而,这与矛盾,所以直线与是异面直线.
【师生活动】教师引导学生得出结论,并尝试说出理由,然后教师进行例题的讲解,并归纳利用反证法的步骤和判断异面直线的方法.
【教师总结】这道题告诉我们一种判断异面直线的方法:与一个平面相交的直线和个平面内不经过交点的直线是异面直线,这个结论称为“异面直线的判定定理”,可以直接使用.
师:通过这节课,我们学会了哪些知识,请同学们总结一下.
【少教精教】
通过少教精教的策略,学生掌握了判定异面直线的一种方法,通过分析本题进一步帮助学生理解知识点,培养了学生的推测解释能力、概括理解能力,提升空间想象与逻辑推理的学科核心素养
【课堂小结】
空间点、直线、平面之间的位置关系
【设计意图】
通过提问,引导学生对所学的知识、思想方法进行小结,形成知识体系,用激励性的语言加以点评,让学生思想尽量发挥完善,提升学生的数学核心素养
【课后作业】教材P31练习第2,4题
教学评价
本节从生活实际以及长方体模型入手引出了平面的概念、异面直线的概念,空间点、直线、平面的位置关系,师生共同探究了平面的三个基本事实和推理,直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系特征,明确了直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的画法及其注意事项,提升了学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象核心素养.
【设计意图】
引导学生对空间点、直线、平面的位置关系的理解,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程.通过具体知识,点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的概括理解、观察记忆、推测解释的能力进行解决问题,从而达到直观想象素养、逻辑推理和数学抽象素养目标
应用所学知识,完成下面各题:
1.如图,在正方体中,下列命题正确的是________.(填序号)
(1)直线在平面内;
(2)设正方形ABCD与正方形的中心分别为,,则平面与平面的交线为;
(3)由点可以确定一个平面;
(4)由点,,确定的平面为平面.
解析:本题以命题的形式考查了平面的基本性质,熟知并正确理解平面的三个基本事实和推论是解题的关键.
①错误.因为点平面,所以直线不在平面内.
②正确.因为点直线AC,直线平面,所以点平面.同理,点平面,所以直线.同理,直线平面,故为平面与平面的交线.
③错误.因为点在同一条直线上,故不能确定一个平面.
④正确.因为点A,,不共线,故可以确定一个平面,又,所以点平面,故由点,,确定的平面即为平面.
答案:②④
【说明论证能力】
本题通过分析进一步帮助学生理解确定平面的基本事实和推论,有助于提升学生的直观想象、逻辑推理核心素养
2.若是空间三条直线,,与相交,则与的位置关系是________.
解析:本题通过直观想象与逻辑推理考查了空间中直线与直线的位置关系,推出和确定一个平面,与相交推出和确定一个平面,如果平面和平面重合,与相交,如果平面和平面是两个不同的平面,则与异面.
【观察记忆能力】
解决本题也可以利用长方体模型,在长方体中找到相应的直线也能作出清晰的判断,提升学生的观察记忆能力
3.已知,是两个不重合的平面,下面说法正确的是( )
A.平面内有两条直线都与平面平行,那
B.平面内有无数条直线平行于平面,那么
C.若直线与平面和平面都平行,那么
D.平面内所有的直线都与平面平行,那么
解析:本题考查了宊间中平面与平面的位置关系,判断两平面平行只需明确两平面有没有公共点.
、都不能保证,无公共点,如图(1)所示;中当,时,与可能相交,如图(2)所示;只有D说明与一定无公共点.
答案:D
【推测解释能力】
判断两平面是否平行,只需判断两平面是否有公共点,没有公共点则平行,有无数个公共点则相交,增强了学生的推测解释能力
【以学定教】
根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和基本事实、推论,依据生活实例和长方体模型,采取演示教学法、探究教学法等,使学生逐步掌握平面以及空间点、直线、平面之间的位置的知识
教学反思
本节我们学面的概念、性质以及空间点、直线、平面之间的位置关系,平面的概念和性质是立体几何的全部理论的基础,平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介,在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用.空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础,两直线的异面关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系,虽没有严格的推理和证明,却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力,本节的设计提出了一些具有挑战性的问题以激发学生的空间想象能力和发散思维能力,提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理核心素养.
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果发挥学生的空间想象力、发散思维力并提出一些具有挑战性的问题
1 / 13