2022-2023学年高三数学模拟试题4（浙江）（含解析）

2022-2023学年高三数学模拟试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．[-3，-1] B．（-3，-1] C．[-1，2） D．[-1，2]
2．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为
A． B． C． D．1
4．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（ ）
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
5．过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．展开式中的系数为（ ）
A．-24 B．-8 C．16 D．24
7．已知函数，，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
8．如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐-金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则此双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是
B．从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．若随机变量，则
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好
10．下列计算正确的选项有（　　）
A．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1
B．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1
C．
D．
11．【多选题】已知a为常数，函数有两个极值点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知正四面体是棱上的动点，是在平面上的投影，下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，异面直线与PA所成角是
C．当时，DE的长度最小
D．当时，直线与所成角正弦值是
三、填空题
13．已知非零向量满足，则与的夹角为__________.
14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且则解下6个圆环所需的最少移动次数为_________．
15．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.
16．已知，则的最小值为________．
四、解答题
17．在中，角的对边分别，.
(1)求；
(2)若的周长为4，面积为，求.
18．在数列中，．
（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明：．
19．如图，在直三棱柱，，．
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
20．某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”.规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分.某班派了甲 乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格.
(1)三题答完结束后，记为乙同学的累计得分，求的分布列和期望；
(2)求班级获得决赛资格的概率.
21．已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.
22．已知，，函数的导函数存在.
(1)若恒成立，证明：；
(2)若.证明：当时，.注：是自然对数的底数.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】分别解分式不等式和指数不等式，再求交集即可.
【详解】，
，即.
所以.
故选：C
2．A
【分析】由复数的概念即可得出结果.
【详解】复数的虚部是-1.
故选: A.
3．A
【分析】将正四面体补成正方体易得截面为平行四边形，可求得；根据平行关系及可得，则，利用基本不等式可求得最大值.
【详解】将正四面体补成正方体，如下图所示：
截面为平行四边形，可得
又，，且
可得（当且仅当时取等号）
本题正确选项：
【点睛】本题考查截面面积最值的求解，难点是能够将正四面体补全为正方体，从而可准确判断出截面图形的形状；求解最值的关键是能够得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.
4．C
【分析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，再将另一奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.
【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，
另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；
再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.
故选：C.
5．A
【解析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，
则，，，
则，且为锐角，所以，同理可得，
所以，，则为等边三角形，连接交于点，
为的角平分线，则为的中点，，
且，，
若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，
即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部，
因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于确定圆内不切点弦上的点所构成的区域，为此需要计算出圆的圆心到切点弦的距离，找出临界位置进行分析.
6．C
【分析】易得,再分别计算中的的系数与的系数再求和即可.
【详解】由题,
又中含的项为,中含的项为.
故展开式中的项为.即系数为16.
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理求解展开式中指定项的系数,需要写成两项,分别分析含的项及其系数再求和.属于中档题.
7．D
【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；
当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；
为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.
故选：D.
8．C
【分析】根据题意可知点，点，将其代入双曲线方程，即可求出，的值，再根据，即可求出双曲线的离心率.
【详解】由题意上口外直径为，下底外直径为，
由题意可知点，点，
将点，点的坐标代入双曲线的方程可得，
解得，，所以双曲线C的离心率为.
故选：C.
9．AC
【分析】对于A：根据代换的过程，直接求解；对于B：直接求出其中至少有一名女生的概率，即可判断；对于C：利用二项分布求出方差，再求；对于D：按照残差的意义直接判断.
【详解】对于A：因为，所以.
又，，
所以，所以.
故A正确.
对于B：从10名男生，5名女生中随机选取4人，有种，至少有一名女生的选法，有，所以其中至少有一名女生的概率为.故B错误.
对于C：
随机变量，所以，所以.故C正确；
对于D：按照残差的意义，在回归分析中，若残差平方和越小，则模型的拟合效果越好.故D错误.
故选：AC
10．CD
【分析】利用三角函数的诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果.
【详解】对于A，sin158°cos48°+cos22°sin48°＝sin22°cos48°+cos22°sin48°＝sin（22°+48°）＝sin70°≠1，故A错误；
对于B，sin20°cos110°+cos160°sin70°＝sin20°（﹣cos70°）+（﹣cos20°）sin70°＝﹣（sin20°cos70°+cos20°sin70°）＝﹣sin（20°+70°）＝﹣1，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，cos74°sin14°﹣sin74°cos14°＝sin（14°﹣74°）＝﹣sin60°，故D正确.
故选：CD.
11．BD
【分析】对于A、B：利用二次求导判断出以，得到在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，得到，即可判断A、B；对于C、D：由得到，利用对数平均不等式得到，，即可证明出，得到，即可判断C，D.
【详解】由题意得，且定义域为，令，则，因为两个极值点，即在有两根，
由此可知，且在单调递增，在单调递减，，因为在有两根，
所以，即，解得，
因为在有两根为，所以，
又，所以，
从的正负可知在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，所以，因为，
所以，所以A错误，B正确；
因为，所以，
即，
根据对数平均不等式得，，，
根据同向同正可乘性得，因为，所以，
因为恒成立，所以，即，
所以C错误，D正确；
故选：BD．
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
12．AC
【分析】A选项通过证明即可证明平面;
B选项中，直线与所成角转化为即可判断.
C选项中，证明即可.
D选项中，通过余弦定理求出，即可求出直线与所成角正弦值.
【详解】对于A，当时,如图所示，
是等边三角形，故有，而，，又， ，
平面， A正确.
对于B，当时, ，异面直线与所成角即=，B错误.
对于C，当时，如图所示，
设正四面体边长为，则，，，
在直角中，，
在中，由余弦定理得：=,
满足，故，的长度最小，C正确.
对于D，延长交于，连接，直线与所成角即为，，
在中，由由余弦定理得：=，
在中，由由余弦定理得：，
故，D错误.
故选：AC
13．
【分析】直接把两边同时平方化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
所以与的夹角为.
故答案为：
14．64
【分析】根据已知递推公式，利用代入法进行求解即可.
【详解】因为，所以
，
故答案为：64
15．
【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．
【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.
由抛物线的定义，知，.
由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为.
故答案为：．
16．18
【分析】根据配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即求解.
【详解】
（当且仅当，即，解得或时等号成立）.
故答案为：18
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用、和诱导公式、两角和差的余弦公式进行化简，再结合角的范围进行求解；
（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、周长公式得到关于的方程组进行求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以,
所以
又，故，
所以，即；
（2）解：由余弦定理，得，
即，又，
所以，
即
整理得，
由面积为，即，
所以，.
18．（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）由化简可得,，进而可得，即可证明结果;
（Ⅱ）利用数学归纳法进行证明即可.
【详解】（Ⅰ）,
,
,数列是以为首项,-2为公差的等差数列.
,
,当时，，满足此式，故.
（Ⅱ）当时，，成立，
假设，时，成立，
则当时，，
.
只需证明即可.
,
,
,
时，成立，
综上所述，恒成立.
【点睛】方法点睛：用数学归纳法证明，一般是两步一结论，（1）证明当时命题成立；（2）假设时命题成立，再证明当时，命题成立（3）下结论.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)结合直三棱柱性质，利用线面垂直判定定理和性质即可证明；(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后利用面面夹角的向量公式即可求解.
【详解】（1）连接，如下图：
由直三棱柱的性质可知，，
因为，，
所以平面．
因为平面，所以，
因为，则四边形为正方形，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）由（1）得平面，从而点到平面的距离为，
故，即.
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系:
则，，，，
设平面的法向量为，，
则，
令，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，
令，则，，即，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
20．(1)分布列见解析，期望为分；
(2).
【分析】（1）先分析出的可能取值，分别求出对应的概率，写出分布列；
（2）分析出班级获得决赛资格为，
（1）
由题意可得：的可能取值为：0，10，20，30.
；
；
；
；
所以分布列为：
0 10 20 30
分.
（2）
记为甲同学的累计得分
.
而；
；
所以班级获得决赛资格的概率：.
21．(1)或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的方程，设出直线的方程，与椭圆的方程联立求解作答.
（2）利用特殊位置探究直线与交点坐标，再就一般情况结合向量共线推理作答.
【详解】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为，
依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得，
设，，则，，
，
因此，解得，
所以直线的方程为或.
（2）由（1）知，，则，，设直线与交点为，
则，，
而，，则，，
两式相加得：，而，
则，因此，两式相减得：
，而，则，即，
所以直线与交于定点.
【点睛】方法点睛：定点问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）要证明：，即证明：.记，对求导，可知在上单调递减，所以，则.
（2）记，由（1）知，要证明 ，即证明.再分别讨论和时，即可证明.
（1）
要证明：，即证明：.
记，由，得在上单调递减.
于是由，得，得证.
（2）
由，记，
则，当，，，，
所以，则由（1）知，.
下面，我们只需说明，即.
由于，记，则单调递减.
又，则.故.
于是在上单调递增，在上单调递减.又，，
，所以在上恒成立，所以在上单调递增.
①当时，，
又，则.
②当时，先证明：.由于在上单调递减，则
.
再证明：当时，，即证明：.
记，，故，得证!
综上所述，我们得到.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页