2022-2023学年高三数学模拟试题1（浙江）（含解析）

2022-2023学年高三数学模拟试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点M是棱长为4的正方体的棱的中点.过直线作平面，记平面与棱的交点为K，当平面与底面所成的锐二面角最小时，（ ）
A．3 B． C． D．1
4．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戌不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B．126 C．90 D．54
5．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．展开式中的系数为（ ）
A．-24 B．-8 C．16 D．24
7．已知函数，，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
8．设，是双曲线E：的两个焦点，双曲线E与以O为圆心为半径的圆在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．13 D．
二、多选题
9．已知5个数据A1，A2，A3，A4，A5，去掉A4（5，13）后，下列说法正确的是（ ）
A1 A2 A3 A4 A5
（1，3） （2，4） （4，5） （5，13） （10，12）
A．样本相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．变大 D．解释变量x与响应变量y的相关程度变强
10．下列计算正确的选项有（　　）
A．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1
B．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1
C．
D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．若为增函数，则
C．当时，函数恰有两个零点 D．当时，函数恰有1个极值点
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．与均为定值 B．
C． D．的最大值为
三、填空题
13．若平面向量，满足，，与的夹角为60，则______．
14．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
15．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，若线段的垂直平分线与轴的交点为，则______．
16．已知，则的最小值为________．
四、解答题
17．已知函数．
(1)如果函数在处取到最大值或最小值，求的最小值；
(2)设，若对任意的x有恒成立，求的取值集合．
18．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若数列，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列是等差数列．
19．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．
(1)求证：AC⊥平面BDEF：
(2)若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF所成角的正弦值为，求线段DM的长．
20．某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲 30天 20天 40天 10天
乙 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
21．已知椭圆的左、右焦点为，焦距为2，点P是椭圆C上一点满足轴，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线交椭圆C于A，B（异于点P）两点，直线分别交直线于M，N，记，求的最小值．
22．已知函数．
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)求在上的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．
【详解】，，
所以．
故选：A．
2．A
【分析】首先把复数化成的形式，然后可确定其虚部．
【详解】解：，其虚部为，
故选：A．
3．B
【分析】根据题意，作出平面与正方体的截面，然后，找出当平面与底面所成的锐二面角最小时，该截面的相关边长，然后，利用相似，即可求出答案.
【详解】连接，则为直线与底面所成的角.
由于平面，因此平面与底面所成的锐二面角的大小不小于.
下面作平面，使得平面与底面所成的锐二面角恰为：
取的中点N，则，故平面.
取的中点E，则，故平面.
则当平面位于平面时，平面与底面所成的锐二面角恰为，
此时平面与底面所成的锐二面角最小.
如图作出截面，其中，，，，
从而，
故选：B
4．B
【分析】根据题意，按丁、戌的分工情况不同分两种情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，（2）丁、戌不同时参加一项工作，分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案
【详解】根据题意，分情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，种，
（2）丁、戌不同时参加一项工作，进而又分为2种情况
一是甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作，则先从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给丁、戌有种，再从甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作有种，则有种，
二是丁或戌与甲、乙、丙三人中的一人承担同一份工作，先从甲、乙、丙三人中选一人与丁、戌中选一人承担同一份工作有种，然后从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给含丁或戌的两组有种，所以有，
由分类加法计数原理可得共有
故选：B
5．D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
6．C
【分析】易得,再分别计算中的的系数与的系数再求和即可.
【详解】由题,
又中含的项为,中含的项为.
故展开式中的项为.即系数为16.
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理求解展开式中指定项的系数,需要写成两项,分别分析含的项及其系数再求和.属于中档题.
7．D
【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；
当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；
为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.
故选：D.
8．D
【分析】因为，结合双曲线定义得，由，得，继而得解．
【详解】∵，又由双曲线定义可知，
所以，
∵P在以为直径的圆上，则，
由，得，
故，所以.
故选：D．
9．ACD
【分析】作出散点图，再根据散点图分析判断得解.
【详解】解：散点图如图所示，在5个数据中去掉A4（5，13）后，y与x的相关性加强．并且是正相关，所以样本相关系数r变大，R2变大，残差平方和变小，解释变量x与响应变量y的相关程度变强，所以选项ACD正确，选项B错误.
故选：ACD
10．CD
【分析】利用三角函数的诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果.
【详解】对于A，sin158°cos48°+cos22°sin48°＝sin22°cos48°+cos22°sin48°＝sin（22°+48°）＝sin70°≠1，故A错误；
对于B，sin20°cos110°+cos160°sin70°＝sin20°（﹣cos70°）+（﹣cos20°）sin70°＝﹣（sin20°cos70°+cos20°sin70°）＝﹣sin（20°+70°）＝﹣1，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，cos74°sin14°﹣sin74°cos14°＝sin（14°﹣74°）＝﹣sin60°，故D正确.
故选：CD.
11．AB
【分析】A利用奇偶性定义判断；B利用导数研究恒成立求a的范围；C结合B结论即可判断；D利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断.
【详解】且定义域为，即为奇函数，A正确；
若为增函数，恒成立，
令，则，即递增；
又，故上，上，即在上递减，在上递增，
所以恒成立，可得，B正确；
由B知：时为增函数，不可能存在两个零点，C错误；
时，由B分析知：，，，故在、上各有一个异号零点，则有2个极值点，D错误；
故选：AB
【点睛】关键点点睛：构造中间函数研究恒成立求参数范围，根据零点存在性定理及单调性判断的零点个数.
12．BCD
【分析】对A，利用中点可得，，即可确定为定值，利用数量积的公式可判断是否为定值；对B，根据，结合余弦定理即可判断；对C，根据余弦定理结合基本不等式可知，再由A中为定值可知，代入不等关系中，即可判断；对D，利用余弦定理结合基本不等式可知，进而判断.
【详解】由题，对于A选项，，为定值；，不是定值，故A错误；
对于B选项，因为，
所以
，故B正确；
对于选项C，，当且仅当时，等号成立，
由A选项可知，，所以，解得，故C正确；
对于D选项，，当且仅当时，等号成立，因为，所以，所以为锐角，
又，所以，故D正确，
故选：BCD
13．24
【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义可求的值.
【详解】，
故答案为：24.
14．
【分析】根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．
【详解】因为，所以．
即．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．
15．
【解析】设点、，求出线段的垂直平分线方程，由该直线过点，得出，然后利用抛物线的定义可求出的值.
【详解】设点、，则，线段的中点，
从而的中垂线方程为，
该直线过点，从而，从而，
从而.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
16．18
【分析】根据配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即求解.
【详解】
（当且仅当，即，解得或时等号成立）.
故答案为：18
17．(1)
(2)
【分析】（1）先利用两角和的正弦公式得到，再利用题意得到，解出，，进而求出的最小值；
（2）先利用诱导公式、二倍角公式、两角和差的余弦公式得到，再利用恒成立得到进行求解.
（1）
，
因为在处取到最大值或最小值，
所以，解得，，
则当时，的最小值为．
（2）
因为
，
且恒成立，
即恒成立，
所以，解得，即；
即的取值集合为．
18．(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据递推公式及()，可得数列是等比数列，计算即可得的通项公式.
(2)求出等差数列的通项公式，再结合(1)参数分离出得，构造数列并求其最大值即可得解.
(3)已知的递推公式在当时两边同乘，再与运用已知递推公式作差即可得数列的通项公式推理作答.
（1）
因，即，则当时，，即，
而当，则，即，于是有数列是以为公比，2为首项的等比数列，
因此，，
所以数列的通项公式是：，.
（2）
数列为等差数列且，则公差，，
对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，
令，则，
当，2时，，当时，，
于是得，，则，
所以实数k的取值范围是.
（3）
对于任意的正整数n，，
当时，，而，则，
当时，，
上式两边同时乘以得：，
因此，，
即，从而有，而也满足上式，则，，，
所以数列是以为首项，公差为 的等差数列.
【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为 的递推关系，再求其通项公式；
二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求 .
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先做辅助线，再利用线面垂直判定定理判定定理证明.
（2）建立直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过直线与平面所成角的正弦值计算公式求解即可得到答案.
【详解】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接FO．
∵四边形ABCD为菱形， ∴
为中点，， ∴．
又，BD平面BDEF，FO平面BDEF
∴AC⊥平面BDEF．
（2）连接DF
∵四边形BDEF为菱形，且，
∴为等边三角形．
∵O为BD的中点，
∴
又，BD平面ABCD，AC平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD．
∴OA、OB、OF两两互相垂直
如图，以O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵△BDF为等边三角形，
∴
设,则
设平面ABF的法向量为
则，令，则，故
则，
解得，即线段DM的长为.
故答案为.
20．(1)，；
(2)分布列见解析，1.9；
(3)证明见解析.
【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(2)由条件确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，根据期望的定义求期望；(3)由条件结合条件概率公式证明，由此证明.
【详解】（1）设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，
事件D为“乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，
因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以，．
（2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，
乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，
记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，
所以，，
所以X的分布列为：
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望．
（3）由题知，
即，即，
即，
即，即，
即．
21．(1)椭圆C的方程为；
(2)的最小值为.
【分析】(1)由条件结合椭圆的定义列出的方程，解方程可得椭圆C的方程；(2)由条件结合设而不求法求出表达式，再求其最小值即可.
（1）
因为，，所以，，
因为轴，焦距为2，
所以，，又，
所以，，
所以椭圆C的方程为；
（2）
由已知可设直线的方程为，设，，
联立方程组化简可得，
所以，化简可得，
所以，，
，
又的方程为，与直线联立可得，
所以，
的方程为，与直线联立可得，
所以，
所以，
当时，，
所以
因，
，
所以，当且仅当时取等号，
当且时，，
，
，
所以，
所以的最小值为.
【点睛】圆锥曲线的综合问题的解决一般利用设而不求法解决，必要时考虑分类讨论.
22．(1)1个
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得出答案；
（2）求导，再分，，，四种情况讨论，讨论出函数的单调性，再根据函数的单调性即可求出函数的最大值.
（1）
解：当时，，，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以的极小值为，极大值为，
当时，，即，
所以函数只有1个零点；
（2）
解：,
当时，在单调递减，在单调递增，
又当时，，，
所以；
当时，当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
又因当时，，则，，
所以；
当，即时，
因为，所以，所以，
所以，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
即；
当，即时，
或时，，，，
所以函数在和上递增，在上递减，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，当时，在上的最大值为，
当时，在上的最大值为.
【点睛】本题考查了利用导数求函数函数的单调区间及研究函数的零点问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论思想及数据分析能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页