2022-2023学年高三数学模拟试题8（浙江）（含解析）

2022-2023学年高三数学模拟试题
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．学校准备在周二上午第1、2、3、4节举行化学、生物、政治、地理共4科选考科目讲座，要求生物不能排在第1节，政治不能排在第4节，则不同的安排方案的种数为（ ）
A．12 B．14 C．20 D．24
5．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．展开式中的系数为（ ）
A．-24 B．-8 C．16 D．24
7．已知函数，，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
8．如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．在研究某种产品的零售价x（单位：元）与销售量y（单位：万件）之间的关系时，得到一组样本数据，求得经验回归方程为，且，现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则（ ）
A．变量x与y具有正相关关系
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为
C．去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为
10．将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数（，且），则（ ）
A．当时，恒成立
B．若有且仅有一个零点，则
C．当时，有两个零点
D．存在，使得有三个极值点
12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空题
13．已知非零向量，，，则的最大值为______．
14．设数列的前项和为，且满足，，则___________.
15．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
16．已知，则的最小值为________．
四、解答题
17．已知角，角的顶点都与原点重合，它们的始边都与x轴的非负半轴重合，角的终边过点，角的正切线为.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
18．设数列是公比为正整数的等比数列，满足，设数列满足，
（1）求的通项公式．
（2）求证数列是等差数列，并求的通项公式；
（3）记，求和．
19．如图，在四棱锥中，为正三角形，，且，M为PC的中点，
(1)平面平面，求证：.
(2)求证：平面PAD．
20．某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”.规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分.某班派了甲 乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格.
(1)三题答完结束后，记为乙同学的累计得分，求的分布列和期望；
(2)求班级获得决赛资格的概率.
21．已知椭圆：的短轴长为2，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且轴，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线（且）与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为 关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若与的面积相等，求的值.
22．已知函数.其中为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间：
(2)当时，若有两个极值点，且恒成立，求的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】利用集合的运算即可求得.
【详解】由已知，故
，故
所以
故选：B
2．C
【分析】根据共轭复数定义得，即可确定虚部.
【详解】由题设，故其虚部为3.
故选：C
3．B
【分析】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面与平面所成二面角的余弦值为求出的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案
【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，
平面的一个法向量为，
由题意得，解得或（舍去），
延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形，
由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示，
则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为，
则截面面积为
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为求出，属于中档题
4．B
【分析】根据生物进行分类，根据分类计数原理求解
【详解】解：若生物排在第4节，则其它3节任意排，则有种，
若生物不排在第4节，则生物排在第2节或第3节，然后将政治排在前3节中的剩下的2节，最后化学、地理排在剩下的2节，则有种，
所以根据分类计数原理可知共有种，
故选：B
5．D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
6．C
【分析】易得,再分别计算中的的系数与的系数再求和即可.
【详解】由题,
又中含的项为,中含的项为.
故展开式中的项为.即系数为16.
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理求解展开式中指定项的系数,需要写成两项,分别分析含的项及其系数再求和.属于中档题.
7．D
【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；
当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；
为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.
故选：D.
8．B
【分析】由点到直线的距离公式可得b，已知结合双曲线的几何性质列方程组直接求解.
【详解】点的到渐近线，即的距离，又由题知，解得，所以.
故选：B
9．ABD
【分析】根据回归直线的斜率正负判断A，由在回归直线上判断B，由回归直线斜率的大小判断C，根据残差的概念计算判断D.
【详解】因为回归直线的斜率为正，所以变量x与y具有正相关关系，故A正确；
由，代入可得，当去掉两个误差较大的样本点后，
，，代入成立，
故B正确；
去除两个误差较大的样本点后，回归直线的斜率由，所以y的估计值增加速度变慢，故C错误；
把代入回归直线方程可得，，
所以相应于样本点的残差为，故D正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】化简解析式，根据函数图象变换的知识，求得的可能取值.
【详解】
，
向左平移得，
与函数的图象重合，故，
（1）若，
符合.
（2）若，
符合.
故选：AC
11．AC
【分析】对于A，将不等式变形，构造函数根据函数的单调性以及最值得出结论；
对于B、C，都是在A的构造函数的基础之上，由其图象的性质得到的相关结论；
对于D，构造函数，判断新函数的性质进一步推断原函数的性质.
【详解】对于A，即，两边取对数，，
令，，
单调递增；单调递减；
的最大值为，，A正确；
对于B，若有且仅有一个零点，则，两边取对数，有：，
由A选项知，即时此时也有一个零点，B错误.
对于C，，，两边取对数，有：，由A选项知：，
，C正确；
对于D，，令得：，两边取对数可得：
，设
则，令得：，
在上单调递减，在上单调递增；
最多有两个零点，最多有两个极值点，D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查函数零点、方程的根与图象交点的等价，考查函数的单调性、极值与最值的应用，本题的难点在于对式子的变形以及构造函数，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题.
12．AB
【分析】先利用三角形的三边关系得到，再结合得到，即判定选项A正确；先利用三角形的内角和定理得到，再结合正弦定理和边角关系判定选项B正确；先利用正弦定理将边角关系转化为边边关系，再利用余弦定理得到，再利用判定选项C错误；先利用诱导公式、两角差的正弦公式得到，进而判定三角形是直角三角形或等边三角形，即选项D错误.
【详解】对于A：根据三角形的三边关系得，
即，又，所以，
即的形状唯一确定，故选项A正确；
对于B：因为，所以，
解得，又因为，，
所以由，得，
解得，又，所以，
即三角形唯一确定，故选项B正确；
对于C：因为，
所以，则，
则，
因为，所以，
又，则，
所以三角形不存在，即选项C错误；
对于D：因为，
所以，
所以，
所以，
则或，
即或，
若，又，，所以；
若，又，，所以；
即是直角三角形或等边三角形，即选项D错误.
故选：AB.
13．13
【分析】根据向量数量积的运算性质，有，即可求的最大值.
【详解】∵，
∴当时，有最大值为169.
∴的最大值为13.
故答案为：13.
14．
【分析】将代入递推关系式即可得到结果.
【详解】当时，，又，.
故答案为：.
15．2
【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】［方法一］：点差法
设，则，所以
所以，
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,，
因为为AB中点，所以平行于x轴，
因为M(-1,1)，所以，则即．
故答案为：2.
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以．
［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得．
［方法五］：距离公式+直角三角形的性质
设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以．
又由弦长公式知．
由得，解得，所以．
［方法六］：焦点弦的性质应用
由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M．
过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心．
设，则．
又因为，所以联立解得．将的值代入中求得．
因为抛物线C的焦点，所以．
【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出；
方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；
方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率；
方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；
方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；
方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．
16．18
【分析】根据配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即求解.
【详解】
（当且仅当，即，解得或时等号成立）.
故答案为：18
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据终边所过点可求得，；利用诱导公式可求得结果；
（2）利用二倍角正切公式可求得，同时确定，得到；
根据正切线定义可知，利用两角和差正切公式求得后，结合角的范围可确定角的大小.
【详解】（1）角的终边过点，，
根据诱导公式得：.
（2），，.
，，又，.
，.
角的正切线为，，
，
.
【点睛】本题考查任意角三角函数值的定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数线、两角和差正切公式和二倍角的正切公式的应用；重点考查了根据三角函数值求解角的问题，易错点是忽略角所处的范围.
18．(1)；(2) 证明见解析， ；(3)；
【分析】（1）用基本量，求出首项和公比，即可求出通项公式.
(2)先用已知条件，得到，求出的通项公式，即可得出的通项公式.
(3)利用裂项相消法，即可求解.
【详解】（1），所以，
（2）
，又，所以，所以.
（3）
所以
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面垂直的判定定理与性质定理证明；
（2）由线面平行的判定定理证明，
【详解】（1）证明：延长AB，CD交于E，连PE.
已知面，面，又，面且面
∴面面，∴直线PE即为直线
∴要证，即证
取AD中点O，由已知与均为正三角形，
，，，
面PEO，面PEO，
面PEO，面PEO，，.
（2）证明：延长交于，连，
设，由已知，，，
由余弦定理知，，，且，
，，
，且
面，面，面.
20．(1)分布列见解析，期望为分；
(2).
【分析】（1）先分析出的可能取值，分别求出对应的概率，写出分布列；
（2）分析出班级获得决赛资格为，
（1）
由题意可得：的可能取值为：0，10，20，30.
；
；
；
；
所以分布列为：
0 10 20 30
分.
（2）
记为甲同学的累计得分
.
而；
；
所以班级获得决赛资格的概率：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）短轴长为2得，由椭圆定义和得，，
由得，且，
可得答案；
（2）设，，，联立直线和椭圆方程利用韦达定理，代入直线：，令得，从而得到、坐标，求出的中点坐标代入直线方程可得答案.
【详解】（1）因为短轴长为2，所以，
因为 ，，
所以，，
又因为轴，所以，
，且，
解得，∴.
（2），，，联立直线和椭圆方程得
，整理得，
，，，
直线：
令，
，
，，的中点坐标为，
由中点在上，可得，
，
，解得，，
所以.
22．(1)的递增区间为，递减区间为；
(2)2.
【分析】（1）对函数求导，把代入导函数中对导函数进行化简，即可求出函数的单调区间.
（2）有两个极值点即为导函数的零点，令导函数等于零和，即可得方程，利用与韦达定理得到（或），再把代入原函数中进行化简即可得到， 要使恒成立，代入化简即可得，求出的最小值，即可得到答案.
【详解】（1）对求导得
当时，
当，即，；
当，即，；
故当时，的递增区间为，递减区间为.
（2）当时，由（1）知
令，则的两个不等实数解为
故
即（或）
故不等式恒成立恒成立（*）
由于，故，故（*）恒成立
令
则
是上的增函数，
，即最大值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页