高中数学人教A版2019必修第二册 8.4.1 平面 导学案（含答案）

8.4.1 平面
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个基本事实的地位与作用。
1.教学重点：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
2.教学难点：平面的画法及表示方法，三个基本事实的地位与作用。
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是 的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个 ，它的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 ．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用
画出来．如图②.
① 　 ②
3．平面的表示法
上图①的平面可表示为 、 、 或 .
4．平面的基本性质
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过 的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α
事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P∈α，P∈β
5．推论
推论1：经过一条直线和 ，有且只有一个平面．
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面．
一、探索新知
1.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.
2.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面在空间是无限延伸的.
(1) (2) (3)
练习：
判断下列各题的说法正确与否：
（1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
（2）、平面有边界； ( )
（3）、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
（4）、菱形的面积是 4 cm 2； ( )
（5）、一个平面可以把空间分成两部分. （ ）
平面的画法：
当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 倍。
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
4.平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
记作： 、平面 、平面 或平面BD
思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？
基本事实1 ．
图形语言：
作用：确定平面的主要依据。
5.点与直线、平面的位置关系
直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合．点在直线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．
图形语言：
符号语言： ，
思考2：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？
基本事实2 。
图形语言：
符号语言：
作用：判断直线是否在平面内的依据．
思考3：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
基本事实3
图形语言：
符号语言： 。
作用：①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
6.两个相交平面的画法：
注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画．
7.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论
推论1 。
推论2 。
推论3 。
作用：确定一个平面。
例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
如图，已知
求证：。
1．判断正误
(1)平面是处处平的面．(　　)
(2)平面是无限延展的．(　　)
(3)平面的形状是平行四边形．(　　)
(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.(　　)
2．下列空间图形画法错误的是(　　)
　A　　　　B　　　　 C　　　　　D
3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A a，a α，B∈α
B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α
D．A∈a，a∈α，B∈α
4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．
这节课你的收获是什么？
参考答案：
2.(1)平展性 (2)无限延展性 (3)没有厚度
练习 （1）× （2） × （3）× （4） √ （5） √
3.45 2
4.平面、平面ABCD、平面AC或平面BD
思考1.过不共线三点
基本事实1. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
5.符号语言：
思考2.直线与平面的关系：
直线在平面外 直线在平面内
图形：
符号语言：
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
符号语言：
思考3.交于一点直线。
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号语言：
6.
7.推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。
例1.解：
例2.证明：　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β.∴直线a β，点 P∈β.∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，∴α与β重合．∴PQ α.
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1.【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.【答案】D　
【解析】遮挡部分应画成虚线．故D错，选D.
3.【答案】B　
【解析】点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
4.证明：　因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
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