高中数学人教A版2019必修第二册 8.4.1 平面 同步练习（解析版）

8.4.1 平面
基础巩固
1．如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（ ）．
A．， B．， C．， D．，
2．下列说法中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形 D．两个不同平面和有不在同条直线上的三个公共点
3．三个互不重合的平面能把空间分成部分，则所有可能值为 （ ）
A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8
4．如图所示，，，，，，则平面和平面的交线是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
5．下列推理错误的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α lα
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．lα，A∈l A α
D．A∈l，lα A∈α
6．给出以下命题“已知点、都在直线上，若、都在平面上，则直线在平面上”，试用符号语言表述这个命题________
7.在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有____条.
8．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线.
能力提升
9．如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 四点不共面 B． 四点共面
C． 三点共线 D． 三点共线
10．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）
11．已知四点和直线，且，，，，求证:直线共面.
素养达成
12．如图所示的几何体中，，，，且，，，.求证:直线，，相交于同一点.
8.4.1 平面
基础巩固答案
1．如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（ ）．
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】直线上有无数个点，直线可看成点的集合，点在直线上，可记作，直线在平面内，可记作，故选．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形 D．两个不同平面和有不在同条直线上的三个公共点
【答案】C
【解析】对于选项A,当三点共线时,无法确定一个平面,故A错误；对于选项B,一个四边形,若对边异面,则为一个立体图形,故B错误；对于选项C,因为梯形有一组对边平行,两条平行线可以确定一个平面,则梯形一定是平面图形,故C正确；对于选项D,若两个不同平面和有不在同条直线上的三个公共点,由于三个不共线的点能确定一个平面,则平面与平面重合,与已知矛盾,故D错误.故选:C
3．三个互不重合的平面能把空间分成部分，则所有可能值为 （ ）
A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8
【答案】B
【解析】若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线则把空间分成6部分；若三个平面两两平行，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平行相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，所有共分成4，6，7，8部分，故选择B
4．如图所示，，，，，，则平面和平面的交线是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】D
【解析】∵，，∴，又，∴．又平面，∴为平面与平面的交线．故选D
5．下列推理错误的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α lα
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．lα，A∈l A α
D．A∈l，lα A∈α
【答案】C
【解析】A项描述的是一条直线上两个点在平面内，则直线在平面内，该结论正确；B中描述的是两平面有公共点则有公共直线，结论正确；C项中直线不在平面内，直线与平面可能相交，则直线上的点可能在平面内，结论错误；D项中点在直线上，直线在平面内可得到点在平面内，选C.
6．给出以下命题“已知点、都在直线上，若、都在平面上，则直线在平面上”，试用符号语言表述这个命题________
【答案】已知，，若，，则
【解析】用符号语言表述这个命题为：已知，，若，，则．故答案为：已知，，若，，则．
7.在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有____条.
【答案】5
【解析】
如图，
由图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．
8．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线.
【答案】见解析
【解析】证明：∵AB∥CD，∴AB，CD可确定一个平面，设为平面β，∴AC在平面β内，即E在平面β内.而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3可得，B，D，E三点共线.
能力提升
9．如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 四点不共面 B． 四点共面
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】D
【解析】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错．点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错．为中点，所以，，故，故C错．故选D．
10．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）
【答案】
【解析】
见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;
见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;
综上，平面可能经过该正方体的顶点是.
故答案为：
11．已知四点和直线，且，，，，求证:直线共面.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，所以直线与点可以确定平面，如图所示，
因为，所以，又，所以.
同理可证，，
所以，，在同一平面内，
即直线，，共面.
素养达成
12．如图所示的几何体中，，，，且，，，.求证:直线，，相交于同一点.
【答案】证明见解析
【解析】证明∵，，
∴直线，确定一个平面，并且直线，相交，设.①
∵，∴与确定一个平面，
∵平面，∴平面.
同理平面.
又因为平面平面，∴.②
由①②可知，，，三线共点，即直线，，相交于同一点.
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