高中数学人教A版2019必修第二册 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（解析版）

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
基础巩固
1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条(　 　)
A.相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行
2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定(　 　)
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
3.下列命题中正确的个数是(　 　)
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α　②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行　③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行　④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A.0 B.1 C.2 D.3
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(　 　)
A.不存在
B.有1条
C.有2条
D.有无数条
5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l(　 　)
A.相交 B.平行 C.垂直 D.异面
6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是　 .
7.如图的直观图,用符号语言表述为(1)　 ,
(2)　　　　　　 　　.
8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问
(1)AM和CN是否是异面直线
(2)D1B和CC1是否是异面直线 说明理由.
能力提升
9.若平面α∥β,直线a α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中(　 　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条直线与a平行
C.存在无数条直线与a平行
D.存在唯一一条与a平行的直线
10.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a α,b β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a α,则a与β一定相交.
其中正确的序号是　　　　.(将你认为正确的序号都填上)
11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.
素养达成
12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A l,B l,C l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系 证明你的结论.
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
基础巩固答案
1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条(　 　)
A.相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行
【答案】C
【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.
2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定(　 　)
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
【答案】C
【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.
3.下列命题中正确的个数是(　 　)
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α　②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行　③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行　④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(　 　)
A.不存在
B.有1条
C.有2条
D.有无数条
【答案】D
【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.
5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l(　 　)
A.相交 B.平行 C.垂直 D.异面
【答案】C
【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l 平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.
6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是　　 　　　　　　　　.
【答案】b与α平行或相交或b在α内
【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b α(其中E,F为棱的中点).
7.如图的直观图,用符号语言表述为(1)　 ,
(2)　　　　　　 　　.
【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M
【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M
8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问
(1)AM和CN是否是异面直线
(2)D1B和CC1是否是异面直线 说明理由.
【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.
【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.
由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.
(1)不是异面直线.理由:
因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.
又因为A1AC1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.
(2)是异面直线,证明如下:
假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.
所以BC 平面CC1D1D,这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,
故D1B与CC1是异面直线.
能力提升
9.若平面α∥β,直线a α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中(　 　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条直线与a平行
C.存在无数条直线与a平行
D.存在唯一一条与a平行的直线
【答案】D
【解析】因为α∥β,B∈β,所以B α.因为a α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.
10.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a α,b β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a α,b β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a α,则a与β一定相交.
其中正确的序号是　　　　.(将你认为正确的序号都填上)
【答案】③④
【解析】①错.a与b也可能异面.
②错.a与b也可能平行.
③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a α,b β,所以a与b无公共点.
④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.
⑤错.a与β也可能平行.
11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.
【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.
【解析】a∥b,a∥β,理由:
由α∩γ=a知a α且a γ,由β∩γ=b知b β且b γ,
因为α∥β,a α,b β,所以a,b无公共点.
又因为a γ,且b γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a α,所以a与β无公共点,所以a∥β.
素养达成
12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A l,B l,C l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系 证明你的结论.
【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.
【解析】平面ABC与β的交线与l相交.
证明:因为AB与l不平行,且AB α,l α,
所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.
又因为AB 平面ABC,l β,所以P∈平面ABC,P∈β.
所以点P是平面ABC与β的一个公共点,
而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.
即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,
所以平面ABC与β的交线与l相交.
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