2023届11月份高三数学模拟试题1（山西）（含解析）

2023届11月份高三数学模拟试题
一、单选题
1．已知虚数满足,则（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
2．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”，下列说法错误的是（ ）
A．逆命题为：，为两个实数，若，中至少有一个不小于，则，为假命题
B．否命题为：，为两个实数，若，则，都小于，为假命题
C．逆否命题为：，为两个实数，若，都小于，则，为真命题
D．，为两个实数，“”是“，中至少有一个不小于”的必要不充分条件
4．已知，则等于（ ）
A． B． C．e D．1
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．展开式中第2项的系数为（ ）
A．108 B．81 C．54 D．12
8．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．可取两个值，可取两个值，有4个式子
C．中有4个元素
D．的真子集有7个
10．已知函数 的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．的图象关于直线对称 D．不存在单调递 区间
三、填空题
13．已知向量，，若A，B，C三点共线，则____________．
14．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高
为
15．如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且.固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为_______.
四、双空题
16．若函数的导函数为偶函数，则__________，曲线在点处的切线方程为__________.
五、解答题
17．表示等差数列的前项的和，且，.
(1)求数列的通项及；
(2)求和
18．（1）求值：；
（2）已知，求的值.
19．如图，平面，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
20．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．
年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36
(1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；
(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．
参考数据：，，，其中．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
21．已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值．
22．已知函数.
(1)设在上单调递减，求a的取值范围；
(2)当时，证明：恒成立.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】设虚数z=a+bi,将z代入,得出a,b,计算即可.
【详解】解:由题知,设虚数z=a+biR,代入可得
R,,
可得(舍)或,
故z=i,,
故选:B.
2．D
【分析】求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解作答.
【详解】依题意，，而，
所以.
故选：D
3．D
【分析】求出原命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断其真假，由此判断A，B，C，再根据充分条件和必要条件的定义判断D.
【详解】命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”的逆命题为：“，为两个实数，若，中至少有一个不小于，则”，因为，时，，所以逆命题为假命题，A对，
命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”的否命题为“，为两个实数，若，则，都小于”，当，时，但，不都小于，所以否命题为假命题，B对，
命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”的逆否命题为“，为两个实数，若，都小于，则”，由，可得，所以逆否命题为真命题，C对，
因为命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”的逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，所以“”是“，中至少有一个不小于”的充分条件，D错，
故选：D.
4．C
【分析】根据函数解析式先求出，再求出即可.
【详解】∵，，又，∴.
故选：C.
5．B
【分析】等体积法求解点到平面的距离.
【详解】设点A到平面A1BC的距离为h，
因为AB＝AC＝BC＝2，
所以，，
由勾股定理得：，
取BC中点D，连接，则，BD=1，
故，所以，
因为，所以.
故选：B
6．C
【分析】根据题意延长交椭圆另一交点为，由条件结合椭圆性质可知，
再通过通径的性质有即可得解.
【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，
延长交椭圆另一交点为，
由再结合椭圆的对称性，
易知，
所以，
由椭圆过焦点的弦通径最短，
所以当垂直 轴时，最短，
所以，
所以，
解得.
故选：C
7．A
【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】，所以展开式中的第2项的系数为108.
故选：A
8．D
【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.
【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，
作图如下：
在正方体中，易知，，，
则共面，平面，平面，
平面，同理可得：平面，
，平面平面，
当平面时，平面，
正方体的棱长为，
在中，，解得，同理，
在中，，解得，
则中边上的高，
即，
故选：D.
9．BD
【分析】根据集合的定义可求出，从而可判断各项的正误.
【详解】，
故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确.
当，时，，故A错误.
可取两个值，可取两个值，共有4个算式，
分别为：
，，
故B正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题．
10．AC
【解析】利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以 ，
得，，因为 ，所以，
所以，
对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；
对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；
对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；
对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到
，故选项D不正确；
故选：AC
【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题
11．ACD
【分析】根据数列的特征得到为，为周期为3的数列，从而得到，A正确；
根据数列的周期求和得到或，所以B错误.
利用斐波那契数列的特征得到，C正确；
根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列为，则数列为周期数列，且周期为3，
所以，所以A正确.
因为，且，所以或，所以B错误.
因为
，所以C正确.，
所以D正确.
故选：ACD
【点睛】斐波那契数列有以下性质：
（1）从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，
（2）奇数项之和，偶数项之和，
（3）平方之和，
（4）两倍项关系，
（5）.
12．BD
【分析】对A，由周期定义结合即可判断；
对B，由奇函数定义判断即可；
对C，由对称定义结合即可判断；
对D，由导数法判断即可.
【详解】对A，因为，，所以，则不是的最小正周期，A错；
对B，令，则，故，所以函数是奇函数，B对；
对C，因为，，所以，则的图象不关于直线对称，C错；
对D，因为（两等号不能同时成立），所以不存在单调递减区间，D对.
故选：BD.
13．5
【分析】由向量共线的坐标表示求解.
【详解】由A，B，C三点共线知，则，解得．
故答案为：5．
14．
【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x，则可知，a表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．
考点：解三角形的运用
点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．
15．
【分析】建立坐标系，求出的轨迹方程，从而得出取得最小值时的坐标，从而得出答案．
【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
设的内切圆切、、分别于、、，
则，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支在第一象限的部分，
且，，，
的轨迹方程为．
，，
则，，易知的最小值为，此时三点共线，直线方程为，即．
则当为线段与双曲线右支的交点时，最小，
联立方程组，解得,（舍去）
点到直线的距离为．
故答案为：．
在双曲线中求最值时经常考虑双曲线的定义，涉及到双曲线上的点到一个焦点的距离时，有时要利用定义转化为到另一个焦点的距离，再利用三角形的两边之和（差）大于（小于）第三边以及两点之间线段最短等几何性质求解．
16． 1
【分析】求导，根据导函数为偶函数，得到，从而得到，，从而求出切线方程.
【详解】因为为偶函数，
所以，
故，解得：，
故，，
则.又，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：1，.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由可解出的值，利用等差数列的通项公式可求得，利用等差数列的求和公式可求得；
（2）化简的表达式，分、两种情况，结合等差数列的求和公式求出的表达式，综合可得出的表达式.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由可得，
因为，解得，所以，，
.
（2）解：，
当且时，；
当且时，.
综上所述，.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）先利用诱导公式将，转化为，然后利用三角恒等变换求解.
（2）由，利用平方关系求得，得到，然后由 求解.
【详解】（1），
，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
，
，
，
.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线定理结合已知条件可得，再由平面，可得结论，
（2）连接，则由已知可证得平面，从而得为和平面所成的角，然后在Rt中求解.
（1）
分别为的中点，
.
又，
.
∵平面，平面，
∴，
，
∴，
∵，平面，
平面.
（2）
连接.
为的中点，且.
平面平面，
∴，
∵，
∴，
∵，平面，
平面，
∵平面，
由（1）有，
又四边形为平行四边形，
∴，
∵，平面.
平面.
为和平面所成的角.
由得，
在Rt中，，
和平面所成角的正弦值为.
20．(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据题意，进而结合已知数据和公式计算即可得；
（2）由题意知，再根据二项分布概率公式，结合得，再根据二项分布概率公式求解分布列与期望.
（1）
解：设，则，
因为，，，
所以．
把代入，得．
即关于的回归方程为．
（2）
解：由题意知，
，，
由得
所以，的取值依次为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
21．（1）；（2）.
【分析】（1）根据抛物线的定义得出到准线的距离为3，列方程解出；
（2）设方程为，与抛物线方程联立方程组得出，两点纵坐标的关系，得出的面积关于的函数，求出最小值即可．
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
到焦点的距离为，
．
抛物线方程为．
（2）设的方程为．
联立方程组，得．
设，，，，则，．
．
．
时，取得最小值．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，利用单调性得到恒成立，求出的最大值，求出a的取值范围；（2）构造函数，求导，得到其单调性，证明出不等式.
（1）
由题可知，
，
当时，恒成立，所以恒成立
令
当时，取最大值
∴，
即a的取值范围为
（2）
证明：要证，即证
令
，
∵
∴
函数在上单调递减，
命题得证.
【点睛】导函数证明不等式，一般要对不等式进行变形，构造函数，利用导函数得到函数单调性，极值和最值情况，证明出不等式.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页