2023届11月份高三数学模拟试题5（山西）（含解析）

2023届11月份高三数学模拟试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．1
5．正三棱锥的底面边长等于球的半径，且正三棱锥的高等于球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．展开式中第2项的系数为（ ）
A．108 B．81 C．54 D．12
8．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为全集，集合为的子集，且，，，那么集合的子集可以为（ ）
A． B．
C． D．
10．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在内恰有5个极值点，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．的图象关于直线对称 D．不存在单调递 区间
三、填空题
13．已知向量，，若A，B，C三点共线，则____________．
14．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高
为
15．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________．
四、双空题
16．若函数的导函数为偶函数，则__________，曲线在点处的切线方程为__________.
五、解答题
17．已知公差为的等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
18．已知都为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，AB＝2AD＝2EF＝8，EF∥底面ABCD，EA＝ED＝FB＝FC，M，N分别为AD，BC的中点．
(1)证明：EF∥AB且BC⊥平面EFNM．
(2)若二面角为，求CF与平面ABF所成角的正弦值．
20．某大学滑冰协会为了解本校学生对滑冰运动是否有兴趣，从本校学生中随机抽取了300人进行调查，经统计，被抽取的学生中，男生与女生的人数之比是2∶1，对滑冰运动有兴趣的人数占总数的，女生中有55人对滑冰运动有兴趣.
(1)完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关联？
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女 55
合计 300
(2)该协会滑冰项目有3名男教练和2名女教练，为了推广滑冰运动，该协会计划筹备5天的宣传活动，若每天从这5名教练中随机选出2人作为滑冰运动的宣传员，求这5天中恰有2天选出的2人是女教练的概率.
附：（），.
21．已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积．
22．已知函数，是非零常数．
(1)若函数在上是减函数，求的取值范围；
(2)设，且满足，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由复数的乘法运算及复数的相等可求解.
【详解】，再根据复数的相等，有，解得，所以.
故选：D
2．D
【分析】根据交集的含义即可得到答案.
【详解】，根据交集的含义则.
故选：D.
3．A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，
所以由推得出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．A
【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：.
【详解】∵，，，
∴，当且仅当a＝b＝1时，取等号.
故选：A.
5．C
【分析】设球的半径，由球的体积公式及三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设球的半径为，球的体积为，正三棱锥的底面积，，
棱锥的体积为.所以.
故选：C.
6．B
【分析】利用球的对称性，作出截面图，从而判断，
【详解】
如图， 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，
与底面交于点B,D，
,
过C作 交于E,C,则，
在 中，
， ， , ，
，求出离心率.
那么椭圆中 ， ,
.
故选：B
【点睛】需要准确得出截面图，理解椭圆的短轴长和篮球的直径是一样的，然后借助平面图形求解，对空间想象能力有一定的要求.
7．A
【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】，所以展开式中的第2项的系数为108.
故选：A
8．D
【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.
【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，
作图如下：
在正方体中，易知，，，
则共面，平面，平面，
平面，同理可得：平面，
，平面平面，
当平面时，平面，
正方体的棱长为，
在中，，解得，同理，
在中，，解得，
则中边上的高，
即，
故选：D.
9．BC
【分析】由集合，将全集分为四个子集：，借助于Venn图，可判断集合的子集.
【详解】依题意，可得如下Venn图，
∴如图，知，故，
∴的子集可以为B或C．
故选：BC
10．BCD
【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到，再根据因为在内恰有5个极值点，由求解.
【详解】解：将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
设，由，得，
因为在内恰有5个极值点，
所以，
解得．
故选：BCD
11．ACD
【分析】根据数列的特征得到为，为周期为3的数列，从而得到，A正确；
根据数列的周期求和得到或，所以B错误.
利用斐波那契数列的特征得到，C正确；
根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列为，则数列为周期数列，且周期为3，
所以，所以A正确.
因为，且，所以或，所以B错误.
因为
，所以C正确.，
所以D正确.
故选：ACD
【点睛】斐波那契数列有以下性质：
（1）从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，
（2）奇数项之和，偶数项之和，
（3）平方之和，
（4）两倍项关系，
（5）.
12．BD
【分析】对A，由周期定义结合即可判断；
对B，由奇函数定义判断即可；
对C，由对称定义结合即可判断；
对D，由导数法判断即可.
【详解】对A，因为，，所以，则不是的最小正周期，A错；
对B，令，则，故，所以函数是奇函数，B对；
对C，因为，，所以，则的图象不关于直线对称，C错；
对D，因为（两等号不能同时成立），所以不存在单调递减区间，D对.
故选：BD.
13．5
【分析】由向量共线的坐标表示求解.
【详解】由A，B，C三点共线知，则，解得．
故答案为：5．
14．
【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x，则可知，a表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．
考点：解三角形的运用
点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．
15．3
【分析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由双曲线定义得点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，然后根据双曲线的性质，数量积的运算律求解．
【详解】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由，
可得．
因为的最小值为，所以的最小值是3．
故答案为：3.
16． 1
【分析】求导，根据导函数为偶函数，得到，从而得到，，从而求出切线方程.
【详解】因为为偶函数，
所以，
故，解得：，
故，，
则.又，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：1，.
17．(1)
(2)
【分析】(1)由等差数列性质可以计算 和，再求通项公式；
(2)错项相减构成部分等比数列.
(1)
∵是等差数列，∴，
又∵，∴，是方程的两根，
又∵，∴，∴，
∴，，∴，
(2)
知，
，①
，②
①-②得：
∴.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方关系先求，然后由商数关系可得；
（2）先用平方关系求，然后由两角和的余弦公式可得.
（1）
因为为锐角， ，所以，
所以
（2）
因为为锐角，，所以，
所以
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的性质结合已知条件可证得EF∥AB，由等腰三角形的性质可得EM⊥AD，FN⊥BC，再结合线面垂直的判定可证得BC⊥平面EFNM；
（2）过点E作，垂足为H，作，垂足为K，以H为原点，以的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：因为EF∥底面ABCD，平面ABFE，平面底面，
所以．
因为，M，N分别为AD，BC的中点，
所以EM⊥AD，FN⊥BC，，
因为∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，
所以四边形EFNM为梯形，且EM与FN必相交于一点，
又，
所以，
因为平面，
故BC⊥平面．
（2）解：过点E作，垂足为H，
由（1）知BC⊥平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以EH平面，
由，，得为二面角的平面角，则．
因为，所以．
作，垂足为K．
以H为原点，以的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
，．
设平面ABF的法向量为，
则，
令，得．
因为，
所以，
故CF与平面ABF所成角的正弦值为．
20．(1)列联表答案见解析，可以认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关联
(2)
【分析】(1)根据题目所归的条件分别计算列联表中的各项，再通过卡方计算即可；
(2)根据二项分布即可求解.
(1)
由题意，从某大学随机抽取了300人进行调查，男生与女生的人数之比是2∶1，
所以，男生有人，女生有人，
又由滑冰运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，
没有兴趣的有100人，
因为女生中有55人对滑冰运动有兴趣，所以男生有兴趣的有145人，
无兴趣的有55人，女生没有兴趣的有45人，
可得如下列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男 145 55 200
女 55 45 100
合计 200 100 300
所以，
所以根据小概率值的独立性检验，
可以有99%的把握认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关联；
(2)
某一天选出2人都是女教练的概率为，
所以，5天中恰有2天选出的2人都是女教练的概率为：
；
综上，有99%的把握认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关联，
这5天中恰有2天选出的2人是女教练的概率.为 .
21．（1）；（2）．
【分析】根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；
设过点的直线n的方程为，联立直线方程与抛物线方程，得利用根与系数的关系结合求得t，进一步求出与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解．
【详解】由题知，，则．
设准线与x轴交于点D，则．
又是边长为8的等边三角形，，
，，即．
抛物线C的方程为；
设过点的直线n的方程为，
联立，得．
设，，则，．
．
．
由，得
，
解得．
不妨取，则直线方程为．
．
而F到直线的距离．
的面积为．
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
22．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知在上恒成立，再分和两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意令，进而分，，三种情况讨论函数的单调性，进而得，其中，再根据当时，直线与的图像在上有两个交点并结合极值点的概念即可证明.
【详解】（1）解：
因为函数在上是减函数，
所以，在上恒成立，
当时，在上恒成立，满足题意；
当时，当时，由，故，与在上恒成立矛盾，
所以，的取值范围为
（2）解：令得，
所以，，则，
所以，当时，，函数在上单调递增，
当时，，故函数在上单调递减，
因为，
所以，存在，使得，即，
所以，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，恒成立，
所以，在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，即，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为，
所以，在上单调递减，
综上，函数在上单调递增，在上单调递减，且，
因为，即，
由的唯一性可得，
又，
所以，，其中，
所以，当时即时，
直线与的图像在上有两个交点，
所以，在上有两个变号零点，即在上有两个极值点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于构造函数，进而结合三角函数在的符号，分，，三种情况讨论函数的单调性，进而的函数值得范围，其中，再结合函数零点与极值点的概念即可求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页