2023届11月份高三数学模拟试题3（山西）（含解析）

2023届11月份高三数学模拟试题
一、单选题
1．已知为虚数单位，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．1
5．正三棱锥的底面边长等于球的半径，且正三棱锥的高等于球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
6．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．160 C．320 D．640
8．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．可取两个值，可取两个值，有4个式子
C．中有4个元素
D．的真子集有7个
10．函数（其中，， ） 的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．的图象关于直线对称 D．不存在单调递 区间
三、填空题
13．已知向量，，若A，B，C三点共线，则____________．
14．“鲅鱼公主”形象源于一个古老的传说，寓意深刻，美丽动人，象征和平，鲅鱼圈也因此得名， 享誉中外.“鮁鱼公主”雕塑作为渤海明珠景区的重要组成部分，东与望儿山翘首相望、北与鱼跃龙腾雕塑交相辉映，是山海文化、鱼龙文化相互交融的经典力作，是鲅鱼圈的标志性建筑.高中生李明与同学进行研究性学习，为确定“鲅鱼公主”雕塑的高MN，选择点A和附近一楼顶C作为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角从C点测得，已知楼高BC=40m，则“鲅鱼公主”雕塑的高MN=_____m
15．如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且.固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为_______.
四、双空题
16．若函数的导函数为偶函数，则__________，曲线在点处的切线方程为__________.
五、解答题
17．已知在等比数列中，，且,,成等差数列，数列满足,，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知都为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角形，,为中点.
(1)证明：点在上.
(2)点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值.
20．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．
年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36
(1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；
(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．
参考数据：，，，其中．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
21．已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积．
22．已知函数，是非零常数．
(1)若函数在上是减函数，求的取值范围；
(2)设，且满足，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先由复数的乘法得到，再根据复数相等得到的值，从而可求.
【详解】由，得，
又，由复数相等的充要条件得，，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查复数的乘法和复数相等的条件，注意两个复数相等指它们实部相同且虚部相同，本题属于基础题.
2．B
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】解：因为，，
所以；
故选：B
3．A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，
所以由推得出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．A
【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：.
【详解】∵，，，
∴，当且仅当a＝b＝1时，取等号.
故选：A.
5．C
【分析】设球的半径，由球的体积公式及三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设球的半径为，球的体积为，正三棱锥的底面积，，
棱锥的体积为.所以.
故选：C.
6．C
【分析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB的距离，
又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
7．B
【分析】利用二项式定理进行求解.
【详解】因为展开式的通项公式为，
所以令，解得，
即展开式中的常数项为.
故选：B.
8．D
【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.
【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，
作图如下：
在正方体中，易知，，，
则共面，平面，平面，
平面，同理可得：平面，
，平面平面，
当平面时，平面，
正方体的棱长为，
在中，，解得，同理，
在中，，解得，
则中边上的高，
即，
故选：D.
9．BD
【分析】根据集合的定义可求出，从而可判断各项的正误.
【详解】，
故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确.
当，时，，故A错误.
可取两个值，可取两个值，共有4个算式，
分别为：
，，
故B正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题．
10．AC
【分析】根据周期求得，根据最大值求得，根据求得，从而确定正确选项.
【详解】由图象可知，，
所以，，
所以，
将代入，得，
由于，所以，
解得.
故选：AC
11．ACD
【分析】根据数列的特征得到为，为周期为3的数列，从而得到，A正确；
根据数列的周期求和得到或，所以B错误.
利用斐波那契数列的特征得到，C正确；
根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列为，则数列为周期数列，且周期为3，
所以，所以A正确.
因为，且，所以或，所以B错误.
因为
，所以C正确.，
所以D正确.
故选：ACD
【点睛】斐波那契数列有以下性质：
（1）从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，
（2）奇数项之和，偶数项之和，
（3）平方之和，
（4）两倍项关系，
（5）.
12．BD
【分析】对A，由周期定义结合即可判断；
对B，由奇函数定义判断即可；
对C，由对称定义结合即可判断；
对D，由导数法判断即可.
【详解】对A，因为，，所以，则不是的最小正周期，A错；
对B，令，则，故，所以函数是奇函数，B对；
对C，因为，，所以，则的图象不关于直线对称，C错；
对D，因为（两等号不能同时成立），所以不存在单调递减区间，D对.
故选：BD.
13．5
【分析】由向量共线的坐标表示求解.
【详解】由A，B，C三点共线知，则，解得．
故答案为：5．
14．60
【分析】由题意可知，解三角形ABC可求得AC，继而解三角形AMC求得AM，再解三角形AMN，即可求得答案.
【详解】由题意可知，
由于，故 ，
又因为， ，
所以,
,
又因为，故，
故答案为：60
15．
【分析】建立坐标系，求出的轨迹方程，从而得出取得最小值时的坐标，从而得出答案．
【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
设的内切圆切、、分别于、、，
则，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支在第一象限的部分，
且，，，
的轨迹方程为．
，，
则，，易知的最小值为，此时三点共线，直线方程为，即．
则当为线段与双曲线右支的交点时，最小，
联立方程组，解得,（舍去）
点到直线的距离为．
故答案为：．
在双曲线中求最值时经常考虑双曲线的定义，涉及到双曲线上的点到一个焦点的距离时，有时要利用定义转化为到另一个焦点的距离，再利用三角形的两边之和（差）大于（小于）第三边以及两点之间线段最短等几何性质求解．
16． 1
【分析】求导，根据导函数为偶函数，得到，从而得到，，从而求出切线方程.
【详解】因为为偶函数，
所以，
故，解得：，
故，，
则.又，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：1，.
17．(1);
(2).
【分析】（1）由已知条件求得等比数列的公比和首项，即可求得其通项公式；
（2）求得的通项公式，结合（1）的结论可得，利用分组求和法，结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】（1）因为,,成等差数列，所以 ,
又因为在等比数列中，,所以，得的公比 ，
所以 ,解得 ，故.
（2）由,，，得 ，
则是等差数列，因为,所以，
则 ，
则
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方关系先求，然后由商数关系可得；
（2）先用平方关系求，然后由两角和的余弦公式可得.
（1）
因为为锐角， ，所以，
所以
（2）
因为为锐角，，所以，
所以
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明平面得，再根据等边三角形性质得，进而证明结论；
（2）结合（1），建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，设，，进而求平面的法向量，再根据向量方法求解即可.
【详解】（1）证明：连接，．
因为是三棱锥的高，即平面，
因为平面
所以．
因为，的中点为，
所以，
因为平面
所以平面，
因为平面，
所以．
又因为是边长为的正三角形，的中点为
所以，，即点在上．
（2）解：结合（1）得，，，，．
过点作，交于，
结合（1）可知两两垂直，
所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，，
设，．
所以，．
设平面的法向量为，
则，即 取，则．
所以，，当且仅当时，等号成立．
所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．
20．(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据题意，进而结合已知数据和公式计算即可得；
（2）由题意知，再根据二项分布概率公式，结合得，再根据二项分布概率公式求解分布列与期望.
（1）
解：设，则，
因为，，，
所以．
把代入，得．
即关于的回归方程为．
（2）
解：由题意知，
，，
由得
所以，的取值依次为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
21．（1）；（2）．
【分析】根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；
设过点的直线n的方程为，联立直线方程与抛物线方程，得利用根与系数的关系结合求得t，进一步求出与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解．
【详解】由题知，，则．
设准线与x轴交于点D，则．
又是边长为8的等边三角形，，
，，即．
抛物线C的方程为；
设过点的直线n的方程为，
联立，得．
设，，则，．
．
．
由，得
，
解得．
不妨取，则直线方程为．
．
而F到直线的距离．
的面积为．
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
22．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知在上恒成立，再分和两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意令，进而分，，三种情况讨论函数的单调性，进而得，其中，再根据当时，直线与的图像在上有两个交点并结合极值点的概念即可证明.
【详解】（1）解：
因为函数在上是减函数，
所以，在上恒成立，
当时，在上恒成立，满足题意；
当时，当时，由，故，与在上恒成立矛盾，
所以，的取值范围为
（2）解：令得，
所以，，则，
所以，当时，，函数在上单调递增，
当时，，故函数在上单调递减，
因为，
所以，存在，使得，即，
所以，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，恒成立，
所以，在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，即，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为，
所以，在上单调递减，
综上，函数在上单调递增，在上单调递减，且，
因为，即，
由的唯一性可得，
又，
所以，，其中，
所以，当时即时，
直线与的图像在上有两个交点，
所以，在上有两个变号零点，即在上有两个极值点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于构造函数，进而结合三角函数在的符号，分，，三种情况讨论函数的单调性，进而的函数值得范围，其中，再结合函数零点与极值点的概念即可求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页