2023届11月份高三数学模拟试题6（山西）（含解析）

2023届11月份高三数学模拟试题
一、单选题
1．已知虚数满足,则（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
2．若集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”，下列说法错误的是（ ）
A．逆命题为：，为两个实数，若，中至少有一个不小于，则，为假命题
B．否命题为：，为两个实数，若，则，都小于，为假命题
C．逆否命题为：，为两个实数，若，都小于，则，为真命题
D．，为两个实数，“”是“，中至少有一个不小于”的必要不充分条件
4．设函数，若，则（ ）
A．3 B．4 C．32 D．33
5．已知某种装水的瓶内芯近似为底面半径是4dm、高是8dm的圆锥，当瓶内装满水并喝完一半，且瓶正立旋置时（如图所示），水的高度约为（ ）
（参考数据：，）
A．1.62dm B．1.64dm C．3.18dm D．3.46dm
6．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．160 C．320 D．640
8．正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（ ）
A． B．5 C． D．
二、多选题
9．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．可取两个值，可取两个值，有4个式子
C．中有4个元素
D．的真子集有7个
10．函数（其中，， ） 的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
12．若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知向量，，若A，B，C三点共线，则____________．
14．飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取＝1.732).
15．如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且.固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为_______.
四、双空题
16．若函数的导函数为偶函数，则__________，曲线在点处的切线方程为__________.
五、解答题
17．表示等差数列的前项的和，且，.
(1)求数列的通项及；
(2)求和
18．已知都是锐角，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角形，,为中点.
(1)证明：点在上.
(2)点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值.
20．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．
方案1：不分类卖出，售价为20元/kg；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下．
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价（元/ ） 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望．
21．如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点且，M为抛物线弧AB上的动点．
求抛物线的方程；
求的最大值．
22．已知函数.
(1)设在上单调递减，求a的取值范围；
(2)当时，证明：恒成立.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】设虚数z=a+bi,将z代入,得出a,b,计算即可.
【详解】解:由题知,设虚数z=a+biR,代入可得
R,,
可得(舍)或,
故z=i,,
故选:B.
2．C
【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.
【详解】由，解得，
所以集合，
所以．
故选：C．
3．D
【分析】求出原命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断其真假，由此判断A，B，C，再根据充分条件和必要条件的定义判断D.
【详解】命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”的逆命题为：“，为两个实数，若，中至少有一个不小于，则”，因为，时，，所以逆命题为假命题，A对，
命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”的否命题为“，为两个实数，若，则，都小于”，当，时，但，不都小于，所以否命题为假命题，B对，
命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”的逆否命题为“，为两个实数，若，都小于，则”，由，可得，所以逆否命题为真命题，C对，
因为命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于”的逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，所以“”是“，中至少有一个不小于”的充分条件，D错，
故选：D.
4．D
【分析】分两种情况，代入相应的函数进行求解.
【详解】当时，，解得：，符合要求，当时，，故不可能等于5，综上：
故选：D
5．B
【分析】由题意可知当装水的瓶正立放置时，圆锥上半部分的体积占圆锥体积的一半，设上半部分小圆锥的底面半径为r dm，则小圆锥的高为2r dm，然后列方程可求出，从而可求出结果.
【详解】因为瓶内装满水并喝完一半，
所以当装水的瓶正立放置时，圆锥上半部分的体积占圆锥体积的一半，
设上半部分小圆锥的底面半径为r dm，则由题意可得小圆锥的高为2r dm，
则，解得，
即，．
则剩余的水的高度为．
故选：B
6．C
【分析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB的距离，
又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
7．B
【分析】利用二项式定理进行求解.
【详解】因为展开式的通项公式为，
所以令，解得，
即展开式中的常数项为.
故选：B.
8．C
【分析】取AB的中点Q，证明平面平面得动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M）．然后计算△MQC的面积即可．
【详解】取AB的中点Q，连接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分别为，，AB的中点可得，平面，平面，
所以平面，同理得平面，，平面，则平面平面，
所以动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M）．
在正三棱柱中，△ABC为等边三角形，Q为AB的中点，则，
平面平面，平面平面，则CQ⊥平面，平面，
所以．
因为，所以，
因为侧棱长是6，所以．
所以，则△MQC的面积，
故动点P的轨迹面积为．
故选：C
【点睛】结论点睛：本题考查空间点的轨迹问题，空间点的轨迹几种常见情形：
（1）平面内到空间定点的距离等于定长，可结合球面得轨迹；
（2）与定点的连线与某平面平行，利用平行平面得点的轨迹；
（3）与定点的连线与某直线垂直，利用垂直平面得点的轨迹；
（4）与空间定点连线与某直线成等角，可结合圆锥侧面得轨迹；
9．BD
【分析】根据集合的定义可求出，从而可判断各项的正误.
【详解】，
故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确.
当，时，，故A错误.
可取两个值，可取两个值，共有4个算式，
分别为：
，，
故B正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题．
10．AC
【分析】根据周期求得，根据最大值求得，根据求得，从而确定正确选项.
【详解】由图象可知，，
所以，，
所以，
将代入，得，
由于，所以，
解得.
故选：AC
11．ACD
【分析】根据数列的特征得到为，为周期为3的数列，从而得到，A正确；
根据数列的周期求和得到或，所以B错误.
利用斐波那契数列的特征得到，C正确；
根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列为，则数列为周期数列，且周期为3，
所以，所以A正确.
因为，且，所以或，所以B错误.
因为
，所以C正确.，
所以D正确.
故选：ACD
【点睛】斐波那契数列有以下性质：
（1）从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，
（2）奇数项之和，偶数项之和，
（3）平方之和，
（4）两倍项关系，
（5）.
12．BC
【分析】令，利用导数研究单调性可判断AB；令，利用导数研究单调性可判断CD
【详解】令，则，
故为增函数，
由，得，故A错误，B正确.
令，则，
当时，，
则的导函数，
则在上单调递减，
则，得在上单调递减，
所以，得，故C正确，D错误.
故选：BC.
13．5
【分析】由向量共线的坐标表示求解.
【详解】由A，B，C三点共线知，则，解得．
故答案为：5．
14．
【分析】利用正弦定理求得，再由直角三角形求得到边的距离，从而可得结论．
【详解】 ，
，
到 边的距离为
山顶的海拔高度为 .
故答案为：6340．
15．
【分析】建立坐标系，求出的轨迹方程，从而得出取得最小值时的坐标，从而得出答案．
【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
设的内切圆切、、分别于、、，
则，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支在第一象限的部分，
且，，，
的轨迹方程为．
，，
则，，易知的最小值为，此时三点共线，直线方程为，即．
则当为线段与双曲线右支的交点时，最小，
联立方程组，解得,（舍去）
点到直线的距离为．
故答案为：．
在双曲线中求最值时经常考虑双曲线的定义，涉及到双曲线上的点到一个焦点的距离时，有时要利用定义转化为到另一个焦点的距离，再利用三角形的两边之和（差）大于（小于）第三边以及两点之间线段最短等几何性质求解．
16． 1
【分析】求导，根据导函数为偶函数，得到，从而得到，，从而求出切线方程.
【详解】因为为偶函数，
所以，
故，解得：，
故，，
则.又，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：1，.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由可解出的值，利用等差数列的通项公式可求得，利用等差数列的求和公式可求得；
（2）化简的表达式，分、两种情况，结合等差数列的求和公式求出的表达式，综合可得出的表达式.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由可得，
因为，解得，所以，，
.
（2）解：，
当且时，；
当且时，.
综上所述，.
18．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）因为都是锐角，而，可得 ，由同角三角函数基本关系式得 ；（2）凑角可得 ，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.
试题解析：（1）因为，所以，
又因为，所以.
利用同角三角函数的基本关系可得，且，
解得.
（2）由（1）可得，.
因为为锐角，，所以.
所以
.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明平面得，再根据等边三角形性质得，进而证明结论；
（2）结合（1），建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，设，，进而求平面的法向量，再根据向量方法求解即可.
【详解】（1）证明：连接，．
因为是三棱锥的高，即平面，
因为平面
所以．
因为，的中点为，
所以，
因为平面
所以平面，
因为平面，
所以．
又因为是边长为的正三角形，的中点为
所以，，即点在上．
（2）解：结合（1）得，，，，．
过点作，交于，
结合（1）可知两两垂直，
所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，，
设，．
所以，．
设平面的法向量为，
则，即 取，则．
所以，，当且仅当时，等号成立．
所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．
20．(1)；
(2)从采购商的角度考虑，应该采用方案1；
(3)分布列见解析，.
【分析】（1）利用二项分布的知识可算出答案；
（2）算出方案2中1 水果的售价的期望可得答案；
（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，易知X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3，然后可算出答案.
【详解】（1）设“从100个水果中随机抽取1个，抽到礼品果”为事件A，则，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，
∴恰好抽到2个礼品果的概率．
（2）设方案2中1 水果的售价为Y，则
．
∵，
∴从采购商的角度考虑，应该采用方案1．
（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个．
易知X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3．
，
，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴．
21．（1）；（2）.
【分析】设直线方程为，与联立，得，由韦达定理结合抛物线的定义可得，可得的值，从而可得结果；设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，利用判别式为零可求得的值，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．
【详解】由条件知：，
与联立，消去y，得，
则由抛物线定义得．
又因为，即，
则抛物线的方程为；
由知，且：，
设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，
代入抛物线方程，得．
由，得．
与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为
两直线间的距离为，
故的最大值为．
【点睛】本题主要考查抛物线的方程与抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，意在考查对基础知识的掌握与应用，以及灵活应用所学知识解答问题的能力，做题过程注意抛物线的焦点弦性质的应用，本题属于中档题.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，利用单调性得到恒成立，求出的最大值，求出a的取值范围；（2）构造函数，求导，得到其单调性，证明出不等式.
（1）
由题可知，
，
当时，恒成立，所以恒成立
令
当时，取最大值
∴，
即a的取值范围为
（2）
证明：要证，即证
令
，
∵
∴
函数在上单调递减，
命题得证.
【点睛】导函数证明不等式，一般要对不等式进行变形，构造函数，利用导函数得到函数单调性，极值和最值情况，证明出不等式.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页