2023届11月份高三数学模拟试题7（山西）（含解析）

2023届11月份高三数学模拟试题
一、单选题
1．已知，（为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．1
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．的展开式中，的系数（ ）
A． B．5 C．35 D．50
8．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选题） 已知集合，，定义运算，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．记为集合，则
C．若，则符合要求的有个
D．中所有元素之和为
10．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在内恰有5个极值点，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．的图象关于直线对称 D．不存在单调递 区间
三、填空题
13．已知向量，，若A，B，C三点共线，则____________．
14．如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.
15．已知点是双曲线右支上一动点，是双曲线的左、右焦点，动点满足下列条件：①，②，则点的轨迹方程为________________.
四、双空题
16．若函数的导函数为偶函数，则__________，曲线在点处的切线方程为__________.
五、解答题
17．已知数列满足为等比数列.
(1)证明：是等差数列，并求出的通项公式.
(2)求的前项和为.
18．如图，在平面四边形中，.
(1)求的值；
(2)求的长度.
19．如图，平面，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
20．现有甲、乙两名篮球运动员组成一个投篮小组，甲的投篮命中率为，乙的投篮命中率为．在投篮检测中每人投篮三次则完成一次检测；在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一次，则称该投篮小组为：“先进和谐小组”
（1）求甲乙组成的投篮小组在一次检测中荣获"先进和谐小组"的概率取得最大值时的值；
（2）计划在2020年每月进行1次检测，记甲乙组成的投篮小组这12次检测中获得“先进和谐小组”的次数为，若的数学期望，求的取值范围．
21．已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积．
22．已知函数，是非零常数．
(1)若函数在上是减函数，求的取值范围；
(2)设，且满足，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】化简已知得即得解.
【详解】解：，所以.
故选：B.
2．A
【分析】解一元二次不等式化简集合N，再利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】解不等式得：或，即或，
则，而，
所以.
故选：A
3．A
【分析】利用向量平行的坐标公式计算，得出，进而利用充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】若，则，解得或，则是的充分不必要条件；
故选：A
4．A
【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：.
【详解】∵，，，
∴，当且仅当a＝b＝1时，取等号.
故选：A.
5．B
【分析】等体积法求解点到平面的距离.
【详解】设点A到平面A1BC的距离为h，
因为AB＝AC＝BC＝2，
所以，，
由勾股定理得：，
取BC中点D，连接，则，BD=1，
故，所以，
因为，所以.
故选：B
6．C
【分析】根据题意延长交椭圆另一交点为，由条件结合椭圆性质可知，
再通过通径的性质有即可得解.
【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，
延长交椭圆另一交点为，
由再结合椭圆的对称性，
易知，
所以，
由椭圆过焦点的弦通径最短，
所以当垂直 轴时，最短，
所以，
所以，
解得.
故选：C
7．A
【分析】利用展开式的通项公式即求.
【详解】的展开式第项，
当时，；当时，，
∴，
∴的系数为.
故选：A.
8．D
【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.
【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，
作图如下：
在正方体中，易知，，，
则共面，平面，平面，
平面，同理可得：平面，
，平面平面，
当平面时，平面，
正方体的棱长为，
在中，，解得，同理，
在中，，解得，
则中边上的高，
即，
故选：D.
9．BD
【分析】根据已知条件求出集合，进而可判断AD选项的正误，利用集合的运算可判断B选项的正误，利用列举法可判断C选项的正误.
【详解】由已知条件可得.
对于A选项，，A错；
对于B选项，，则，故，B对；
对于C选项，，即，
则满足条件的集合有：、、、、、、、，共个，C错；
对于D选项，中所有元素之和为，D对.
故选：BD.
10．BCD
【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到，再根据因为在内恰有5个极值点，由求解.
【详解】解：将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
设，由，得，
因为在内恰有5个极值点，
所以，
解得．
故选：BCD
11．ACD
【分析】根据数列的特征得到为，为周期为3的数列，从而得到，A正确；
根据数列的周期求和得到或，所以B错误.
利用斐波那契数列的特征得到，C正确；
根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列为，则数列为周期数列，且周期为3，
所以，所以A正确.
因为，且，所以或，所以B错误.
因为
，所以C正确.，
所以D正确.
故选：ACD
【点睛】斐波那契数列有以下性质：
（1）从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，
（2）奇数项之和，偶数项之和，
（3）平方之和，
（4）两倍项关系，
（5）.
12．BD
【分析】对A，由周期定义结合即可判断；
对B，由奇函数定义判断即可；
对C，由对称定义结合即可判断；
对D，由导数法判断即可.
【详解】对A，因为，，所以，则不是的最小正周期，A错；
对B，令，则，故，所以函数是奇函数，B对；
对C，因为，，所以，则的图象不关于直线对称，C错；
对D，因为（两等号不能同时成立），所以不存在单调递减区间，D对.
故选：BD.
13．5
【分析】由向量共线的坐标表示求解.
【详解】由A，B，C三点共线知，则，解得．
故答案为：5．
14．300
【详解】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
15．
【解析】设动点的坐标为，延长交于点，根据向量的加法法则及数量积为0，可得，利用双曲线的定义可得，即可得答案.
【详解】设动点的坐标为，延长交于点，
由条件②知点在的角平分线上，
结合条件①知，
所以在中，.又平分，
所以为等腰三角形，即，.
因为点为双曲线上的点，所以，即，
所以.又在中，为的中点，为的中点，
所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.
16． 1
【分析】求导，根据导函数为偶函数，得到，从而得到，，从而求出切线方程.
【详解】因为为偶函数，
所以，
故，解得：，
故，，
则.又，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：1，.
17．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意得，进而根据等差数列定义证明，并结合通项公式求解即可；
（2）根据错位相减法求解即可；
【详解】（1）证明：因为数列满足为等比数列，
所以的公比，首项为
所以，即，
所以是以为公差的等差数列，首项为，
所以，，
所以，
（2）解：根据错位相减法有：
，
，
所以，
，
所以
18．(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理得到，从而求出，再利用余弦差角公式进行计算；
（2）先求出，再利用余弦定理求出答案.
【详解】（1）在中，由勾股定理得，
，
；
（2）因为，所以，
在中，由余弦定理得：
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线定理结合已知条件可得，再由平面，可得结论，
（2）连接，则由已知可证得平面，从而得为和平面所成的角，然后在Rt中求解.
（1）
分别为的中点，
.
又，
.
∵平面，平面，
∴，
，
∴，
∵，平面，
平面.
（2）
连接.
为的中点，且.
平面平面，
∴，
∵，
∴，
∵，平面，
平面，
∵平面，
由（1）有，
又四边形为平行四边形，
∴，
∵，平面.
平面.
为和平面所成的角.
由得，
在Rt中，，
和平面所成角的正弦值为.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）根据“先进和谐小组”的定义，则甲、乙两人同时命中一次、二次或三次，分别求得其概率求和得到，然后利用导数法求解．
（2）由（1）根据题意，变量服从二项分布，然后利用期望公式再结合解不等式即可.
【详解】（1）甲、乙两人同时命中一次的概率；
甲，乙两人同时命中二次的概率；
甲，乙两人同时命中三次的概率p
所以．
令，
所以令，
得（舍）或．
当时，，当时，，
所以）此时．
（2）据题意可知，变量服从二项分布，
所
据题意．得），，
所以，
所以所求的取值范围为．
【点睛】本题主要考查独立事件的概率以及离散型随机变量的期望的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
21．（1）；（2）．
【分析】根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；
设过点的直线n的方程为，联立直线方程与抛物线方程，得利用根与系数的关系结合求得t，进一步求出与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解．
【详解】由题知，，则．
设准线与x轴交于点D，则．
又是边长为8的等边三角形，，
，，即．
抛物线C的方程为；
设过点的直线n的方程为，
联立，得．
设，，则，．
．
．
由，得
，
解得．
不妨取，则直线方程为．
．
而F到直线的距离．
的面积为．
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
22．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知在上恒成立，再分和两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意令，进而分，，三种情况讨论函数的单调性，进而得，其中，再根据当时，直线与的图像在上有两个交点并结合极值点的概念即可证明.
【详解】（1）解：
因为函数在上是减函数，
所以，在上恒成立，
当时，在上恒成立，满足题意；
当时，当时，由，故，与在上恒成立矛盾，
所以，的取值范围为
（2）解：令得，
所以，，则，
所以，当时，，函数在上单调递增，
当时，，故函数在上单调递减，
因为，
所以，存在，使得，即，
所以，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，恒成立，
所以，在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，即，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为，
所以，在上单调递减，
综上，函数在上单调递增，在上单调递减，且，
因为，即，
由的唯一性可得，
又，
所以，，其中，
所以，当时即时，
直线与的图像在上有两个交点，
所以，在上有两个变号零点，即在上有两个极值点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于构造函数，进而结合三角函数在的符号，分，，三种情况讨论函数的单调性，进而的函数值得范围，其中，再结合函数零点与极值点的概念即可求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页