高中数学人教A版2019必修第二册 《空间直线、平面的平行课时1》教学设计

《空间直线、平面的平行》教学设计
课时1 直线与直线平行
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.基本事实4 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象逻辑推理 数学抽象 【考查内容】 直线、平面平行的判定及性质定理的应用,证明平行和垂直与求几何体体积相结合,证平行和垂直与求角结合(线面角二面角),考查难度不大 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.等角定理 数学抽象直观想象 逻辑推理
3.直线与平面平行的判定定理 直观想象逻辑推理
4.直线与平面平行的性质定理 直观想象逻辑推理
5.平面与平面平行的判定定理 直观想象逻辑推理
6.平面与平面平行的性质定理 直观想象逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容是按照直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的研究过程展开的,重点研究它们的判定和性质.判定和性质是几何图形及其位置关系的主要研究内容,判定是指构成图形或反映位置关系的几何要素具备什么条件才能成为这种几何图形或具有这种位置关系,是充分条件;性质是指构成几何图形或位置关系的要素具有什么特征,是必要条件性质和判定之间往往具有互逆的关系,这也可以成为我们发现和提出问题的一个起点.在本节,我们利用直线与直线的平行研究直线与平面的平行,利用直线与平面平行研究平面与平面平行;反过来,由直线与平面平行又可以得到直线与直线平行,由平面与平面平行又可以得到直线与直线、直线与平面平行.在这些过程中,确定平面的要素和一些特殊位置往往是我们研究问题的出发点.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.基本事实4 2.等角定理 3.直线与平面平行的判定定理 4.直线与平面平行的性质定理 5.平面与平面平行的判定定理 6.平面与平面平行的性质定理 数学抽象 直观想象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
通过上节直线与平面一般位置关系的学习,学生已经初步确立了研究空间图形的直观感知,但遇到平行——特殊的位置关系的判定,还有一定的困难,需要通过较多的事例加以说明.由于学生刚刚接触立体几何不久,学习经验有限,学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相对不足,从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺,从具体情境发现并归纳出直线与平面平行的判定定理与性质定理以及对定理的理解是教学难点.在分析、讨论中找到正确答案,符号、图形表达能力比较薄弱,空间问题平面化的化归转化思想储备不足,学习上有一定的困难同时学生在如何发现判定两个平面平行的方法以及正确得出平面与平面平行的性质等方面存在难点,故学生可以借助教师的实物展示和多媒体课件的演示,进行整体学习.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.基本事实4
2.等角定理
3.直线与平面平行的判定定理
4.直线与平面平行的性质定理
5.平面与平面平行的判定定理
6.平面与平面平行的性质定理
【教学目标设计】
1.了解基本事实4及等角定理.
2.掌握线面平行的判定与性质定理.
3.理解面面平行的判定与性质定理.
【教学策略设计】
借助长方体模型,直观认识、了解基本事实4和等角定理,通过空间点、直线、平面的定义以及基本事实1~4与直线的位置关系,了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,通过直观感知、操作确认,归纳出判定定理和性质定理,并加以推理论证.
【教学方法建议】
演示教学法、探究教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
直线、平面平行的判定和性质.
难点
1.直线与平面、平面与平面平行的性质定理的发现过程;
2.直线、平面平行的判定和性质的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、计算机、实物模型、__________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
在平面几何的学习中,我们学习了两条直线的位置关系和两条直线平行,得到了两条直线平行的性质和判定定理类似的,在空间中,直线、平面间的平行关系会有什么样的判定和性质,本节我们将一起去学习和研究.
【设计意图】
通过回忆初中学习过的平面几何中两条直线的平行关系,引出空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,点明课题
教学精讲
探究1 基本事实4
我们知道,在同一平面内,不相交的两条直线是平行直线,并且当两条直线都与第三条直线平行时,这两条直线互相平行,在空间中,是否也有类似的结论 本节课,我们将一起探讨.
师:请同学们观察长方体,我们知道那么与平行吗
【师生活动】教师出示多媒体并且提问,组织学生思考,交流回答问题,引入课题.
【情景设置】
直线与直线位置关系的引入
在长方体中,与是否平行
【设情境 巧激趣】
以长方体为载体,用问题情景进行承上启下,引入课题,激发学生的学习兴趣,使学生直观认识空间中直线和直线平行,提升学生的直观想象核心素养
生:与平行
师:从长方体模型当中我们观察到,空间中的平行直线具有平面内的直线平行的性质.
师:现在我们把自己的教材打开直立在桌面上,观察书脊所在的直线与书的各页的另一边是否也有这样的平行关系
【师生活动】教师引导学生观察教材的书脊和书的各页,发现它们之间的关系,学生交流回答.
生:书脊所在的直线与书的各页的另一边平行.
师:我们把上述规律作为本章的第4个基本事实.
【师生活动】教师进一步指出基本事实4的符号语言和图形语言.
【要点知识】
基本事实4
文字内容 平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
【教师总结】基本事实4表明,空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行,它给出了判断空间两条直线平行的依据.
师:学习了基本事实4,我们一起来看下面的例题.
【师生活动】教师引导学生进行探究、分析,理清证明思路.
【先学后教】
通过教师引导学生观察教材书脊所在直线与各页另一边的位置关系,引入基本事实4,培养学生归纳总结的学习能力以及直观想象核心素养
【典型例题】
基本事实4的应用
例 如图,空间四边形中,分别是边的中点.求证:四边形是平行四边形.
师:要证明四边形是平行四边形,根据题目中的条件,我们关键应该证明什么
生:证明四边形的一组对边平行且相等
师:选用哪组对边比较合适呢
生:和FG.
师:只能选这一组对边吗
生:选和也可以.
【师生活动】教师可以请一位同学进行板演,其他学生独立完成,教师巡视教室,对学生进行针对性的指导.学生完成之后,教师出示多媒体课件,并对板演的内容进行评价.
【说明论证能力】
通过例题让学生理解基本事实4,并学会利用它证明空间直线的平行问题培养了说明论证能力,提升了直观想象和逻辑推理核心素养
【典例解析】
基本事实4的应用
证明:连接.
因为是的中位线,所以∥,且同理∥,且,所以,,四边形为平行四边形.
师:在本例中,如果再加上条件,那么四边形是什么图形
生:菱形.
【简单问题解决能力】
通过分析和应用进步帮助学生理解题意,培养学生的思考和分析问题、解决问题的能力
探究2 等角定理
师:我们接下来思考这样一个问题,在平面内如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,在空间中,这一结论是否仍然成立呢
【师生活动】教师引导学生思考、讨论、交流,并指出与平面中的情况类似,当空间中两个角的两条边对应平行时,这两个角有如图所示的两种位置,同时出示多媒体.
【要点知识】
空间中的两个角的两条边对应平行时,这两个角的两种位置
生:在空间中这一结论成立.
师:如何来证明这个结论呢
生:可以通过构造全等三角形来证明.
师:对于图(1),我们可以构造两个全等三角形,使和是它们的对应角,从而证明.
师:如何构造全等三角形呢
【师生活动】教师讲解构造全等三角形的方法,引导学生思考、探究、尝试证明等角定理.
师:根据三角形的构造过程和已知条件,要证明∠BAC=∠BA'C,应该先证明什么
生:先证明.
师:那又如何来证明呢
【师生活动】学生通过构造三角形,根据已知条件,利用三角形全等判断证明,教师给予评价,并出示多媒体.
【推测解释能力】通过教师引导学生思考空间中的两个角的两条边对应平行,由这两个角的位置关系引出等角定理的证明过程.培养学生的推测解释能力
【意义学习】
借助构造全等三角形,启发学生利用三角形全等的知识,为证明等角定理提供解题思路,培养学生用旧知识来解决新问题的思维方式
【归纳总结】
等角定理的证明
证明:如图,分别在和的两边上截取和,使得.连接,.
∵四边形是平行四边形,
∴,同理可证.
∴四边形是平行四边形.
∴.
师:由此题我们就归纳出下面的定理,并称为等角定理.
【师生活动】引导学生根据证明的过程,归纳总结出等角定理的内容,并进一步指出等角定理的符号语言和图形语言,同时出示多媒体.
【要点知识】
等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
图形语言
符号语言 如果与的边,则与相等或互补
师:请同学们理解图(1)的证明过程,并尝试证明图(2).
【设计意图】
通过等角定理的证明,培养学生知识迁移能力、空间想象能力和发散思维能力,加深学生对空间的两条直线平行关系的理解,为等角定理在异面直线所成角的求解打好理论基础,培养学生实践应用的能力,直观想象、逻辑思维核心素养
【师生活动】教师引导学生往“将两个角中一个角的方向相反的一条边反向延长,即可以转化为第一种情况”的思路上考虑,并最终独立完成.
师:本节课我们学习的基本事实4和等角定理都是由平面图形推广到立体图形得到的,但是并非所有的关于平面图形的结论都可以推广到空间,请同学们加以注意.
师:通过这节课的学习,同学们都有哪些收获
【师生活动】师生共同就上述问题进行讨论,交流总结,让学生充分发表自己的意见教师总结整理.
【课堂小结】
直线与直线的平行
1.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2.等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其通过直线与直线的平行知识解题,提高学生的概括理解能力和简单问题解决能力
【课后作业】教材P135练习第1-3题
教学评价
本节从定义和基本事实出发,借助长方形,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行,归纳总结线线平行、面面平行的判定定理和性质定理.
常见的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行,这三种关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化.
应用所学知识,完成下面各题:
1.一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
【设计意图】
引导学生对线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质进行探究分析,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(简单问题解决、推测解释说明论证、猜想探究等)分析问题、解决问题,从而达到直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养目标要求
已知:如图,.
求证:.
解析:本题考查了线面平行的判定定理和性质定理,利用线面平行的性质定理把线面平行转换为线线平行.
证明:如图,过作平面使,那么有,同理
【说明论证能力】
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带,线面平行的判定是高考的重点,本题强化学生对线面平行转化为线线平行的应用,培养学生的数学转化思想与说明论证能力
2.如图,在正方体中,分别是的中点,求证:平面平面.
解析:本题为平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用,证面面平行,通常转化为证线面平行,而证线面平行又转化为证线线平行,所以关键是证线线平行.
证明:∵分别是的中点,∴.∵,所以,
∴四边形为平行四边形,四边形为平行四边形.
∴.
∵平面平面.
∴平面.
同理可证,平面.又直线与直线相交于点平面平面.
【概括理解能力】
面面平行的关系是直线与平面关系中比较复杂的关系,也是高考考查的重点,本题考查学生对面面平行的判定定理和性质的掌握和理解情况,提升了学生的直观想象和逻辑思维核心素养
教学反思
本节教学案例紧扣教材,设计完整,构思严谨,特点是能够把学科抽象的判定、性质定理和直观模型及实际生活相结合,使学生能较好地理解和把握空间直线、平面平行的判定和性质,同时,注意了科学精神和数学思想的渗透,能较好地培养学生的探索创新能力和实践应用能力,但同时,本节内容是几何图形与其位置关系的重要研究对象,所以在教学过程中需要针对性的增加习题的训练,加强难点巩固.
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【以学定教】
根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和定理,依据生活实例和模型,采取演示教学法和探究教学法,让学生逐步掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果需要针对性的增加习题的训练巩固难点
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