8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
选择题
1.平面与平面平行的充分条件可以是( )
A.内有无穷多条直线都与平行
B.直线,,且直线a不在内,也不在内
C.直线,直线,且,
D.内的任何一条直线都与平行
2.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.l∥β,l α α∥β B.l∥β,m∥β,l α,m α α∥β
C.l∥m,l α,m β α∥β D.l∥β,m∥β,l α,m α,l∩m=M α∥β
3.如图,设分别是长方体的棱的中点,则平面与平面的位置关系是( )
A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不确定
4.已知是平面外的一条直线,过作平面使,这样的( )
A.只有一个 B.至少有一个
C.不存在 D.至多有一个
5.(多选题)设、是两条不同的直线,、、是三个不同的平面,则的一个充分条件是( )
A.存在一条直线,,
B.存在一条直线,,
C.存在一个平面,满足,
D.存在两条异面直线,,,,,
6.(多选题)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形为正方形,分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是( )
A.平面平面 B.直线平面
C.直线平面 D.直线平面
二、填空题
7.已知点是等边三角形所在平面外一点,点分别是的中点,则平面与平面的位置关系是_______.
8.如图所示,在三棱柱中,分别是的中点,则与平面平行的平面为________.
9.,表示直线,,表示平面,若______,则.(在横线上添加适当条件,使之成立)
10.如图,正方体中, ,点为的中点,点在上,若 平面,则________,当H为DD1的 时,平面 平面。
三、解答题
11.如图,在正方体中,是的中点,,,分别是,,的中点.求证:
(1)直线平面;
(2)平面平面.
12.如图,四棱锥中,分别为的中点.
(1)求证:平面
(2)求证:平面平面.
8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定答案
选择题
1.平面与平面平行的充分条件可以是( )
A.内有无穷多条直线都与平行
B.直线,,且直线a不在内,也不在内
C.直线,直线,且,
D.内的任何一条直线都与平行
【答案】D
【解析】A选项,内有无穷多条直线都与平行,并不能保证平面内有两条相交直线与平面平行,这无穷多条直线可以是一组平行线,故A错误;
B选项,直线,,且直线a不在内,也不在内,直线a可以是平行平面与平面的相交直线,故不能保证平面与平面平行,故B错误;
C选项, 直线,直线,且,,当直线,同样不能保证平面与平面平行,故C错误;
D选项, 内的任何一条直线都与平行,则内至少有两条相交直线与平面平行,故平面与平面平行;
故选:D.
2.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.l∥β,l α α∥β B.l∥β,m∥β,l α,m α α∥β
C.l∥m,l α,m β α∥β D.l∥β,m∥β,l α,m α,l∩m=M α∥β
【答案】D
【解析】
如右图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB 平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF 平面BC1,B1C1 平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD 平面AC,B1C1 平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.
3.如图,设分别是长方体的棱的中点,则平面与平面的位置关系是( )
A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不确定
【答案】A
【解析】∵和分别是和的中点,∴.又∵平面,平面,∴平面.又∵和分别是和的中点,∴,且,∴四边形是平行四边形,∴.又∵平面,平面,∴平面.∵平面,平面,,∴平面平面.
故选A
4.已知是平面外的一条直线,过作平面使,这样的( )
A.只有一个 B.至少有一个
C.不存在 D.至多有一个
【答案】D
【解析】∵是平面外的一条直线,∴或与相交.当时,平面只有一个;当与相交时,平面不存在.
故选D
5.(多选题)设、是两条不同的直线,、、是三个不同的平面,则的一个充分条件是( )
A.存在一条直线,,
B.存在一条直线,,
C.存在一个平面,满足,
D.存在两条异面直线,,,,,
【答案】CD
【解析】对于选项A,若存在一条直线,,,则或与相交.若,则存在一条直线,使得,,所以选项A的内容是的一个必要条件而不是充分条件;对于选项B,存在一条直线,,,则或与相交.若,则存在一条直线,,,所以,选项B的内容是的一个必要条件而不是充分条件;对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是的一个充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中,成为相交直线,由面面平行的判定定理可知,,则,所以选项D的内容是的一个充分条件.
故选:CD.
6.(多选题)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形为正方形,分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是( )
A.平面平面 B.直线平面
C.直线平面 D.直线平面
【答案】ABC
【解析】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.
对于,因为分别是的中点,所以.又平面,平面,所以平面.同理,平面.又,平面,平面,
所以平面平面,故A正确;对于,连接,设的中点为M,则M也是的中点,所以,又平面,平面,所以平面,故B正确;对于,由A中的分析知,,所以,因为平面,平面,所以直线平面,故C正确;对于,根据C中的分析可知再结合图形可得, ,则直线与平面不平行,故D错误.
故选
二、填空题
7.已知点是等边三角形所在平面外一点,点分别是的中点,则平面与平面的位置关系是_______.
【答案】平行
【解析】∵分别是的中点,∴是的中位线,∴.又∵平面,平面,所以平面.同理平面.∵,所以平面平面.
8.如图所示,在三棱柱中,分别是的中点,则与平面平行的平面为________.
【答案】平面
【解析】由题意,因为分别为的中点,所以,因为平面,平面,可得平面,因为且,所以四边形是平行四边形,所以,又因为 平面,平面,所以平面,因为,所以平面平面.
9.,表示直线,,表示平面,若______,则.(在横线上添加适当条件,使之成立)
【答案】,是平面内的两条相交直线,且直线,都平行于平面
【解析】由两个平面平行的判定定理可得,当直线,是平面内的两条相交直线,且直线,都平行于平面时,一定 推出.
故答案为,是平面内的两条相交直线,且直线,都平行于平面.
10.如图,正方体中, ,点为的中点,点在上,若 平面,则________,当H为DD1的 时,平面 平面。
【答案】2 中点
【解析】设平面AB1C∩平面=,∵EF∥平面AB1C,EF 平面,平面AB1C∩平面=m,
∴EF∥m,又平面∥平面AC,平面AB1C∩平面=m,平面AB1C∩平面AC=AC
∴m∥AC,又EF∥m,∴EF∥AC,又∥AC,∴EF∥,又为的中点
∴EF=。当H为DD1的中点时,由平面与平面平行的判定定理可得平面 平面。
三、解答题
11.如图,在正方体中,是的中点,,,分别是,,的中点.求证:
(1)直线平面;
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】证明:
(1)如图,
连接,分别是的中点,.
又平面平面,所以直线平面.
(2)连接分别是的中点,.
又∵平面平面平面.
又平面平面,∴平面平面.
12.如图,四棱锥中,分别为的中点.
(1)求证:平面
(2)求证:平面平面
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)证明:取的中点,连接,因为为的中点,
所以,又,所以
因此四边形是平行四边形,所以,
又平面平面,因此平面.
(2)证明:连结,因为,所以,所以四边形是平行四边形,所以,
又因为面,面,所以面.又由(1)得平面,
所以平面平面.
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