《空间直线、平面的平行》预习检测
一、选择题
1.(2019·四川南充期中)如图所示,在长方体中,E,F分别是棱和的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则HG与AB的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
2.(2019·陕西延安期中)直线a//平面,内有n条直线相交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A.0条
B.1条
C.0条或1条
D.无数条
3.(2019·北京东城月考)如图所示,在正方体中,E,F,G分别是,,的中点,给出下列四个推断:
①FG//平面;
②EF//平面;
③FG//平面;
④平面EFG//平面.
其中推断正确的是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
二、填空题
4.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是____________.(填序号)
5.已知a,b,c为三条不重合的直线,,,为三个不重合的平面,现给出以下六个命题:
①;②;③;
④;⑤;⑥.
其中真命题是_______.(填序号)
三、解答题
6.(2020·山东学业考试)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,PC的中点.
求证:EF∥平面PAD.
答案解析
一、选择题
1.答案:A
解析:本题考查线面平行的判定定理,由线线平行推出线面平行,E,F分别是棱和的中点,所以EF//AB,又平面EFGH,平面EFGH,所以AB//平面EFGH.又平面ABCD,平面平面EFGH=GH,AB//GH.
2.答案:C
解析:本题考查线面平行的性质,解决类似题目时,当时,过a的任意一个平面与的交线都与平行,即a可以与内的无数条直线平行,但不是任意一条.学生容易忽略直线与平面平行的定义中的“任意”两字,如果缺少,那么平面内凡是不与a平行的直线,都与a异面.因为过直线a和n条直线的交点作平面,设平面与交于直线b,则a//b.若所给n条直线中有1条直线是与b重合的,则此直线与直线a平行;若没有与b重合的直线,则与直线a平行的直线有0条.
3.答案:A
解析:∵在正方体中,E,F,G分别是,,的中点,∴.连接,∵,∴平面,平面,∴平面,故①正确.连接,∵,与平面相交,∴与平面相交,故②错误.∵,F,G分别是,,的中点,∴,∵平面,平面,∴平面,故③正确.∵与平面相交,∴平面EFG与平面相交,故④错误.
二、填空题
4.答案:①②③④
解析:先把图形还原为一个四棱锥,再根据直线与平面、平面与平面平行的判定定理判断即可.
5.答案:①④
解析:本题考查了线线平行、线面平行、面面平行的性质和判定以及相互之间的转化,综合性较强.
由基本事实4可判断①正确;两条直线同时平行于同一平面,这两条直线有可能相交或者异面,不一定平行,②错误;两个平面同时平行于同一直线,这两个平面有可能相交,不一定平行,③错误;根据平面平行的传递性可知④正确;有可能直线平面,⑤错误;有可能直线,⑥错误.
三、解答题
6.答案:见解析
解析:本题通过添加辅助线构造平行四边形,利用线面平行的判定定理证明线面平行.
证明:取PD的中点G,连接FG,AG.
因为G,F分别是PD,PC的中点,所以,
又因为四边形ABCD是平行四边形,且E是AB的中点,
所以,所以,
所以四边形EFGA是平行四边形,
所以EF//AG.
又因为平面PAD,平面PAD,所以EF//平面PAD.
2/5《空间直线、平面的平行》链接高考
一、选择题
1.(2019·全国卷II)设,为两个平面,则的充要条件是( )
A.内有无数条直线与平行
B.内有两条相交直线与平行
C.,平行于同一条直线
D.,垂直于同一平面
2.(2017·全国卷I)在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
3.(2019·上海交大附中月考)如图是正方体的平面展开图.在原正方体中有下列四个命题:①BM//平面;②CN//平面AF;③平面BDM//平面AFN;④平面BDE//平面NCF.其中,真命题的序号是________.
三、解答题
4.如图,在三棱锥中,AS=AB.过A作,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:平面EFG//平面ABC.
5.(2019·湖北武汉外国语学校月考)如图,在三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱,上的点,点M是棱AC上的动点,EC=2FB=2.求当点M在何位置时,BM//平面
6.(2020·北京八十中高一期中)如图,正方体中,M,N,E,F分别是,,,的中点.
(1)求证:E,F,B,D四点共面;
(2)求证:平面AMN//平面EFDB.
答案解析
一、选择题
1.答案:B
解析:本题考查面面平行的判定定理与性质定理综合的应用,熟知两个定理成立的条件是解题的关键.
由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行的性质定理知，若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的充要条件.
2.答案:A
解析:对于选项,如图所示,连接CD,因为AB//CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ//CD,所以AB//MQ,又平面MNQ,平面MNQ,所以.同理可证选项C，D中均有AB//平面MNQ.
二、填空题
3.答案:①②③④
解析:线线平行、线面平行、面面平行的三种关系的相互转化,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系的.展开图可以折成如图(1)所示正方体,
在正方体中,连接AN,如图(2)所示,因为AB//MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形,所以BM//AN.因为平面DE,平面DE,所以BM//平面DE.同理可证CN//平面AF,所以①②正确;如图(3)所示,可以证明BM//平面AFN,BD//平面AFN,进而得到平面BDM//平面AFN,同理可证平面BDE//平面NCF,所以③④正确.
三、解答题
4.答案:见解析
解析:本题为线面平行,面面平行的综合应用.
证明:因为AS=AB,,垂足为F,所以F是SB的中点.
又E是SA的中点,所以EF//AB.
因为平面ABC,平面ABC,
所以EF//平面ABC.
同理EG//平面ABC.
又,所以平面EFG//平面ABC.
5.答案:见解析
解析:本题通过构造平行四边形,依据平行四边形的性质及线面平行的判定和性质定理,面面平行的判定和性质定理,最终得到点M的位置.
证明:如图,
取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,
则PQ//AE.
因为EC=2FB=2,所以,
所以四边形BFEP为平行四边形,所以PB//EF.
又AE,平面AEF,PQ,平面AEF,
所以PQ//平面AEF,PB//平面AEF.
又,所以平面PBQ//平面AEF.
又平面PBQ,所以BQ//平面AEF.
故点Q即为所求的点M,即当点M为AC的中点时,BM//平面AEF.
6.答案:见解析
解析:本题通过基本事实4和基本事实的推论3来证明四点共面,通过三角形的中位线知识、线面平行的判定定理和性质定理以及面面平行的判定定理证明面面平行.
证明:(1)连接,BD,∵正方体中,E,F分别是,的中点.
∴,∵,
∴,∴,F,B,D四点共面.
(2)连接FM,由已知MN是的中位线,EF是的中位线,∴,,∴,∵平面EFDB,平面EFDB,∴平面EFDB,∵,四边形ADFM是平行四边形,∴,∵,AM,平面AMN,∴平面AMN//平面EFDB.
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