4.4.3不同增长函数的差异 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共32张PPT)

(共32张PPT)
人教2019A版必修 第一册
4.4.3 不同增长函数的差异
第四章 指数函数与对数函数
1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异.
2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。
3.了解函数的建模过程。
学习目标
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
问题导入
我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.
下面就来研究一次函数 f(x)=kx+b，k>0 ，指数函数g(x)=ax(a>1) ，
对数函数 在定义域内增长方式的差异.
问题探究
方法
以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
分析：
(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数y=2x值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，
所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
问题探究
以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
问题探究
x y=2x y=2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
··· ··· ···
y=2x
y=2x
以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
问题探究
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)
结论2：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上
结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下
结论4：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上
以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
问题探究
综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.
问题探究
总结：
随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.
请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？
函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.
尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，
因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
归纳总结
一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似.
即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
归纳总结
概括：
练习
2.已知三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　)
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2
解析:通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长是爆炸式增长,y2随x的变化符合此规律;幂函数型函数的增长速度越来越快,y1随x的变化符合此规律,故选C.
分析：
(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0，
所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
问题探究
以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
问题探究
x y=lgx
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
··· ··· ···
y=lgx
以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
问题探究
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
总结一：虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.
在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.
随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.
以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
问题探究
例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；
这表明，当x>10，即y>1，y=lgx比 相比增长得就很慢了.
y=lgx
思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与 比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.
一般地，虽然对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数
的增长速度越来越慢.
不论a值比k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kx，但由于
的增长最值会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有 . 。
归纳总结
3.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 019),g(2 019)的大小.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),
所以1所以x1<6x2,
从图象上可以看出,
当x1当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).
因为g(2 019)>g(6),所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).
6.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.
(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少 (精确到万元)
故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.
解题方法（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法）
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,
通常是观察函数图象上升得快慢,
即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,
图象趋于平缓的函数是对数函数.