4.3.1等比数列的概念（第2课时） 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共19张PPT)

(共19张PPT)
　 等比数列的概念
第2课时
学习目标
1.掌握等比数列的判断及证明方法.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
1.等比数列的定义
复习回顾
2.等比数列的通项公式
思想方法：累乘法 迭代法
an＝a1qn－1
新课探究一
判定与证明方法
1.定义法：
2.等比中项法：
3.通项公式法：
如何判定与证明一个数列是等比数列
an＝A·qn(A≠0).
　　
例1
例题讲解
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ (n∈N*).
求证：数列{an}是等比数列.
解
当n≥2时，
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.
设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
解：由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝2
由 an＋Sn＝n
得 an＋1＋Sn＋1＝n＋1，
相减得 an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1. ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－2为首项，2为公比的等比数列．
试一试
判断一个数列是等比数列的常用方法
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
小结
类比等差数列通项公式的性质，你能得到等比数列中相似的性质吗？
an＝amqn－m.
新知探究二
（1）由等比数列的定义可知
＝qn－m
（2）若m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.
aman＝akal.
例2.
例题讲解
①已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
②若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
解:（1）
由等比中项，化简条件得
即(a6＋a8)2＝49，
∵an>0，
∴a6＋a8＝7.
（2）
有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
试一试
所以a3＝216.
所以a＝6.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二　设后三个数为4－d,4,4＋d，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
1.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.
课堂练习
解1∵{an}为等比数列，
∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5，
∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根，
解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，
∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，
解2
课堂小结
1. 等比数列的证明
2.等比数列通项公式的性质及其应用