黑龙江省绥化市海伦市2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题（Word版无答案）

海伦市2022-2023学年高三上学期期中联考
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正四棱锥中，PA＝AB＝1，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当QR取得最小值时，三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在长方体中，，，M，N分别为棱，的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．A，M，N，B四点共面 B．平面ADM
C． D．平面平面
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知向量，，若，则
B．若向量，共线，则
C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足，则
D．若O是的外心，，，则的值为
11．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
C．存在Q点，使得平面
D．若直线与平面所成角的正切值为，那么Q点的轨迹长度为
12．已知函数，则（ ）
A．曲线在点（1，0）处的切线方程为
B．的极小值为
C．当时，有且仅有一个整数解
D．当时，有且仅有一个整数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数和（i是虚数单位），则______．
14．若，，且，则的最大值为______．
15．在正三棱柱中，，，D，E分别为棱，的中点，F是线段上的一点，且，则点C到平面DEF的距离为______．
16．已知球O的表面积为，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
如图，在三棱柱中，，．
（1）记平面与平面的交线为l，求证：平面；
（2）求证：．
18．（本小题满分12分）
在各项均为正数的数列中，，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是棱PB上一点．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若E是PB的中点，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求．
21．（本小题满分12分）
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB＝PC，如图2所示．F是棱PB上的一点．
（1）若F是棱PB的中点，求证：平面PAE；
（2）是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若直线与曲线相切，求证：．