第四章 指数函数与对数函数 单元测试-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

2022-2023学年高一第一学期单元测验
第四章《指数函数与对数函数》
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1、函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
3、方程的解所在的区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克．地球是太阳系八大行星之一，其质
量大约是千克．下列各数中与最接近的是（参考数据：，）（ ）
A、 B、 C、 D、
5、函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为（ ）
6、设函数，若，则的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A、 小时 B、小时 C、小时 D、小时
8、已知关于的方程的根为负数，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9、已知，则下列结论正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、下列函数中，是奇函数的有（ ）
A、 B、
C、 D、
11、已知函数，若有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12、设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13、计算：________．
14、若的最小值为　　　　
15、已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围
是
16. 已知函数.
①当时，值域为______；
②若对于任意，，，的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数的取值范围是______.
四、 解答题（共6小题，共计70分）
17、（10分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域及的值；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性；
（Ⅲ）判断在上的单调性，并给予证明．
18．（12分）已知函数，，其中且，．
（Ⅰ）求函数和的解析式；
（Ⅱ）在同一坐标系中画出函数和的图象；
（Ⅲ）设，写出不等式的解集．
19．（12分）已知函数．
（Ⅰ）判断在内的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）是否存在实数a使函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
20、（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于的不等式．
21、（12分）为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于养殖业发展，并计划今后年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．
(Ⅰ)写出第年（年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；
(Ⅱ)该企业从第几年开始（年为第一年），每年投入的资金数将超过万元？（参考数据：,，，，）
22、（12分）已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质，说明理由；
①；
②，.
（Ⅱ）若函数的定义域为，且具有性质，则“存在零点”是“”的_______条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
参考答案
1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、D 8、D
9、BD 10、BCD 11、ACD 12、ACD
12、解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
13、9 14、54 15、
16、(1). (2). .
17、解：（Ⅰ）依题意得，解得，
所以函数的定义域为． ……1分
． ……3分
（Ⅱ）设，则． ……4分
，
所以．
所以函数是偶函数． ……6分
（Ⅲ）是在上的单调减函数．
设，
则 ……7分
因为，所以．
所以，即，
所以是在上的单调减函数． ……10分
18．解：（Ⅰ）因为，即， 解得，
所以， ．
（Ⅱ）图象与图象如图所示
（Ⅲ）．
19、解：（Ⅰ）函数在上是增函数．
证明：设对，且，则
因为，所以，即，
又，
于是，即，
所以函数在区间上是增函数．
（Ⅱ）由于函数的定义域为，
假设存在a使得函数为奇函数，
那么，对都有，
即对恒成立，
即，
化简得，解得，
经检验，时函数为奇函数．
所以存在实数使函数为奇函数．
20、解：（Ⅰ）由
得函数的定义域为，
所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（Ⅱ）由，
得，
因为在是减函数，所以有，
解得，
因此不等式的解集为．
21、解：(Ⅰ)第一年投入的资金数为万元，
第二年投入的资金数为万元，
第x年（年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式为，其定义域为． ...........7分
(Ⅱ)由， 可得，
即，
因为，
所以．
即该企业从第年,就是从年开始，每年投入的资金数将超过万元
22、解：（Ⅰ）函数不具有性质.理由如下：
对于，，因为，，所以不存在满足.
所以函数不具有性质
函数，具有性质.理由如下：
对于，取，则.
因为，
所以函数，具有性质
（Ⅱ）必要而不充分理由如下：
①若存在零点，令，，则.
因为，取，则，且.
所以具有性质，但
②若，因为具有性质，
取，则存在使得.
所以，即存在零点.
综上可知，“存在零点”是“”的必要而不充分条件.