5.1 任意角和弧度制 课时练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

5.1任意角和弧度制课时练习
一、单选题
1．与角终边相同的角可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆和，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角和（和的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4．若是锐角，则，是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
5．“角a与β的终边关于直线对称”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．2
7．已知扇形的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形的周长为（ ）
A．32 B．24 C． D．
8．如今我们在测量视力的时候，常用对数视力表（如图），视力值从4.0到5.3，每行相差0.1，这种计算视力的方法称为五分记录法，“对数视力表”和“五分记录法”是由我国著名眼科专家缪天荣（1914—2005）在1959年研制发明的，这种独创的视力表的核心在于：将视力和视角设定为对数关系，因此被认为是一种最符合视力生理的，而又便于统计和计算的视力检测系统，这使中国的眼科研究一下子站到了世界的巅峰，1986年，《对数视力表》在第25届国际眼科大会（罗马）宣读，引起轰动，1990年《标准对数视力表》被制定为国家标准（GB11533—89），并在全国实施.已知在五分记录法中，规定视力值，其中为人眼的视角，单位为分（1度＝60分），视角的大小，决定了人眼能看到的最小物体的长度，这个长度约等于以眼球为圆心（眼球大小忽略不计），视角为圆心角，眼球与物体之间的距离为半径的扇形的弧长.如果某人的一只眼睛的视力值为4.7，那么这只眼睛能看到距离5米外的最小物体的长度约为（参考数据：，）（ ）
A．1.5毫米 B．2.9毫米 C．4.4毫米 D．5.8毫米
9．已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
10．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设半个小时后时针与分针的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（ ）．
A． B．
C． D．
13．已知点，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（ ）
A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C结论
15．如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为____________．
17．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.
18．如图，正五边形的边长为5，分别以点C、D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为_____．
19．某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若是以B为直角的等腰直角三角形，，则该公园的面积为________.
20．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的母线长为______．
三、解答题
21．（1）写出与终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素α写出来：
（2）已知扇形AOB的周长为8，面积为3，求圆心角的大小；
22．有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10cm，母线长为20cm，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，求此时绳子的长度.
23．如图，一图形由一个扇形与两个正三角形组成，其中扇形的周长为，圆心角的弧度数为，半径为．
(1)若，求；
(2)设该图形的面积为，写出关于的函数表达式．
参考答案：
1．A
【分析】先求出相近的终边相同的角，即可判断.
【详解】与角终边相同的角为，故与角终边相同的角可以表示为.
故选：A
2．A
【分析】过点B作太阳光的平行线，与 的延长线交于点C，可求出，利用弧长公式即可求得地球的半径.
【详解】如图所示，过点B作太阳光的平行线，与 的延长线交于点C，
则 ， ，所以,
设地球半径为R,则根据弧长公式得 ，所以 ,
故选：A.
3．C
【分析】根据两点相遇一次转过弧度之和为即可求解.
【详解】由题意，动点第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：，
设从点出发秒后点第三次相遇，则，解得秒，
此时点转过的弧度数为弧度
故选：C
4．C
【分析】根据取奇数和偶数分类讨论即可求解.
【详解】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.
故选:C.
5．C
【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.
【详解】角与的终边关于直线对称,则,
.
反之，当时，则，从而角a与β的终边不一定关于直线对称.
故“角与的终边关于直线对称”是“”的充分不必要条件.
故选：C
6．C
【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得
故选：C．
7．D
【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.
【详解】圆心角，扇形面积，
即，得半径，
所以弧长，
故扇形的周长.
故选：D
8．B
【分析】由视力值求出视角，再由计算出弧长即得．
【详解】由题意得，解得分，则圆心角为2分，半径为5米的扇形的弧长等于米＝2.9毫米.
故选：B．
9．C
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答.
【详解】设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，依题意，，解得或，
所以扇形的中心角的弧度数是或.
故选：C
10．B
【分析】由题意，根据时钟的特性，结合弧度制的写法，可得答案.
【详解】半小时后是5：00整，时针指向5，分针指向12，．
故选：B．
11．B
【分析】可确定在上集合和集合的关系，然后结合角的周期性得结论．
【详解】在范围，集合含有，集合含有，
由角的周期性变化可知：，
故选：B.
12．A
【分析】利用弧长公式及直角三角形中的正弦公式，化简即可得到答案.
【详解】解：设扇形的半径为R，如图，由弧长公式，得，在直角三角形中，
化简得.
故选：A．
13．B
【分析】根据象限角概念求解即可.
【详解】因为，所以的终边在第二象限.
故选：B
14．D
【分析】在集合与中举例说明即可判断.
【详解】集合中，若，不属于第一或第四象限角，即.
集合中，若，是第一象限角，但.
综上，集合与没有关系.
故选：D
15．B
【分析】由题可得，再根据扇形面积公式可得，结合条件即得.
【详解】设扇形的圆心角为，则，
在中，，
又，
∴，又，
∴.
故选：B.
16．
【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.
【详解】解：如图，
依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为
则，则，即．
因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．
故答案为：.
17．
【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.
【详解】解：由题意可知，
设，
则弧的长度为，所以，
设弧所对的扇形的面积为，
，
则该鲁洛克斯三角形的面积为.
故答案为：.
18．
【分析】本题关键在于如何得到所对圆心角，利用圆半径得到为等边三角形得出，再利用正多变形内角，从而得出，然后代入公式即可得出答案．
【详解】连接，，由题可得，
则是等边三角形，
，
在正五边形中，，
，
的长，
故答案为：．
19．
【分析】利用扇形面积公式即可得到结果.
【详解】由题可知圆心为的中点，，连接，
该公园的面积
故答案为：
20．12
【分析】设母线长为，由弧长公式计算可得；
【详解】解：设母线长为，则侧面展开的扇形的弧长为，
由题意，即，因为，故．
故答案为：
21．（1），；（2）6或.
【分析】（1）由终边相同的角的表示直接得，对取值得符合条件得角；
（2）由扇形面积公式与弧长公式求解即可
【详解】（1）与角终边相同的角的集合为，
当时，时，时，；
中适合不等式的元素为：；
（2）设扇形的半径为，中心角为，则.
由题意可得：，
又.
联立解得或.
22．cm
【分析】由圆锥的展开图可知，绳子是线段时，绳子长度最短，根据扇形弧长公式可求圆心角，从而可求弦的长度.
【详解】底面直径是10，则底面圆周长，
即圆锥的展开图（如下图所示）中，弧的长度为，
母线cm，故圆心角，
当绳子是线段时，绳子长度最短,
在Rt中，.
故绳子的长度为cm.
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用扇形弧长公式列等式，代入即可得到；
（2）利用扇形的面积公式和三角形面积公式求面积即可.
（1）
依题意可得，，若，则．
（2）
因为扇形的面积为（）
所以两个正三角形的面积之和为（），
故．