2023年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（原创预测卷一）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至6页。满分150分。考试用时120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
若事件A，B互斥，则 若事件A，B相互独立，则 若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 台体的体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高 柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中表示球的半径
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合,，则=( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.圆C：对称的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.“函数的图像关于中心对称”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
6.已知抛物线C1:与椭圆C2：共焦点，C1与C2在第一象限内交于Q点，椭圆的左右焦点分别为,且,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，，二面角的平面角，，，则直线与直线的所成最大角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知实数满足，当取到最小值时，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角为
B.存在使得直线垂直
C.对于任意，直线与圆相交
D.若直线过第一象限，则
10.设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是
A.在必有有2个极大值点 B.在有且仅有2个极小值点
C.在上单调递增 D.的取值范围是
11.已知是定义在上的单调函数，对于任意，满足,方程有且仅有4个不相等的实数根，则正整数的取值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.已知不等式恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题部分（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13.若复数满足（为虚数单位），则= .
14.已知,,则 .
15.如图，在四边形ABCD中，,BC=4,CD=5,,，
则AD= .
16.已知为单位向量，满足，当与的夹角最大时， .
三、解答题：（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设函数.
(1)求单调递增区间；
(2)在锐角三角形中，内角所对边分别为，已知，，求的取值范围.
18.现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候。
（1）求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；
（2）设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望.
19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且.
(1)若,求证：面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
20.已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，的前项和为，求证：
21.已知抛物线：，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与交于C、D两点，其中.
（1）求抛物线方程；
（2）是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出AB的方程及；若不存在，请说明理由。
22.设，
（1）当时，求证：对于任意；
（2）设，对于定义域内的,有且仅有两个零点
求证：对于任意满足题意的，.2023年普通高等学校招生全国统一考试解析版（浙江卷）
数学（原创预测卷一）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至6页。满分150分。考试用时120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
若事件A，B互斥，则 若事件A，B相互独立，则 若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 台体的体积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高 柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中表示球的半径
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合,，则=( )
A. B. C. D.
【解析】对于A集合，，B集合，故答案为.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【解析】：，故答案为A.
3.圆C：对称的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】：圆心坐标：，关于直线的对称点为，故答案为C.
4.“函数的图像关于中心对称”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】：的对称中心为，的对称中心为，故答案为B.
5.若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】：依题，，，展开式为有理项时，，经计算比较可得，则展开式为第5项.故选A.
6.已知抛物线C1:与椭圆C2：共焦点，C1与C2在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为,且,则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】：结合抛物线及椭圆的定义可得在抛物线上，故，且
，故选B.
7.如图，在三棱锥中，，二面角的平面角，，，则直线与直线的所成最大角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】：
解法一：特殊位置法；
解法二：建系坐标化，以BC中点O为原点，设OP与面ABC的夹角为变量可解。
8.已知实数满足，当取到最小值时，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】：配方放缩可得，得，此时，可得.故选C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角为
B.存在使得直线垂直
C.对于任意，直线与圆相交
D.若直线过第一象限，则
【解析】：
对于A：,故A对；
对于B：时符合题意，此时其中一条直线不存在.故B对；
对于C：直线过定点，该定点在圆内，故C对；
对于D：直线化简成依题，D错误。
故答案为ABC.
10.设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是
A.在必有有2个极大值点 B.在有且仅有2个极小值点
C.在上单调递增 D.的取值范围是
【解析】：依题，由于在，有且仅有4个零点，结合图像及单调性可得，，故答案：BD.
11.已知是定义在上的单调函数，对于任意，满足,方程有且仅有4个不相等的实数根，则正整数的取值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】：令即，得
实数根问题利用函数的对称性（偶函数）及函数图像可得.故答案为CD.
12.已知为实数，且满足不等式，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】：（利用同构+切线不等式+保值性）
（1）
由基本切线不等式可得：，故
由（1）式得，当且仅当，故答案为ACD.
第Ⅱ卷 非选择题部分（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13.若复数满足（为虚数单位），则= .
【解析】：.
14.已知,,则 .
【解析】：
15.如图，在四边形ABCD中，,BC=4,CD=5,,，
则AD= .
【解析】：建立平面直角坐标系，可快速得到A、D的坐标，进而可得.
16.已知为单位向量，满足，当与的夹角最大时， .
【解析】：
解法一：几何法 作图可得：，根据“米勒最大角定理”成立条件，,得
解法二：坐标化，可得A、B、C的位置关系，利用正切值来表达，可得,进而有.
三、解答题：（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设函数.
(1)求单调递增区间；
(2)在锐角三角形中，内角所对边分别为，已知，，求的取值范围.
【解析提示及答案】
（1）
（2）（提示：利用正弦定理，边化角）
18.为贯彻国家防控疫情实施条例，现有甲、乙等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候。
（1）求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；
（2）设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望.
【解析】（1）总数为，
其中甲乙排在一起的情况为：（提示，甲乙在同一窗口的情形为：甲乙加一人，3111组合或者甲乙两人占一个窗口2211组合）
故.
（2）解法一：依题,故.
解法二：利用随机变量X的分布列，分别算出，进而再进行求解.
19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且.
(1)若,求证：面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析提示及答案】
（1）令，从而通过勾股定理，可得，可证：面
（2）（提示如下）
解法一：
过P分别作AB,CD的垂线交于G,H.则即为二面角的平面角，只需求出M到平面PCD的距离即可，根据平行的性质，该距离即为P在底面的投影到平面PCD的距离。
解法二：
以B点为原点，BC为X轴，BA为Y轴，建立空间直角坐标系，设BC=2，标出各点，设P（1,1，h），利用锐二面角解得.
20.已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，的前项和为，求证：
【解析提示及答案】
（1）（提示：两边同时取倒数可得）
（2）提示：
①对于左边：②对于右边：
当
21.已知抛物线：，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与交于C、D两点，其中.
（1）求抛物线方程；
（2）是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出AB的方程及；若不存在，请说明理由。
【解析提示及答案】
（1）；（提示：，联立得）
（2）不存在这样的AB；（提示：）
22.设，
（1）当时，求证：对于任意；
（2）设，对于定义域内的,有且仅有两个零点
求证：对于任意满足题意的，.
【解析】
（1）提示：
令，.
（2），
依题有且仅有2个零点，则在两段上各有一个零点或者在第二段上有两个零点。
①两段上各有一个零点，.
因此：
引入，恒成立，
要证：
即证：
即证：
化简得，显然成立，因此，成立
②若均在同一段：上，则必有
故，对于任意满足题意的，.
