10.2 事件的相互独立性
基础知识
1.P(A)·P(B) 独立
2.
3.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件不可能同时发生,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.
4.P(A1)P(A2)…P(An)
基础巩固
1.D 因为P(A1)=,若A1发生了,P(A2)==;若A1不发生,P(A2)=,所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响,所以A1与A2不是相互独立事件.
2.B 设事件A=“第一次投进球”,B=“第二次投进球”,则得2分的概率P=P(A)+P(B)=0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4=0.48.
3.D 由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)·P(),
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
所以P(A)=P(B).又P()=,
所以P()=P()=,所以P(A)=.
4.C 因为P()=,所以P(A)=.
又P(B)=,P(AB)=,
所以P(AB)=P(A)P(B),
所以事件A与B相互独立但不一定互斥.
5.ABC 因为样本空间为Ω={1,2,3,4},
所以P(A)=P(B)=P(C)=,
因为A∩B=A∩C=B∩C=A∩B∩C={1},
所以P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=,所以ABC都正确,因为P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),所以D错误.
6.BC 记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响,因此A与B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002 5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P( )=P()P()=0.95×0.95=0.902 5;
“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)∪(B)表示.由于事件A 与 B互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P(A )+P(B)=P(A)P()+ P()P(B)=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095;“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)∪(A )∪( B)表示.由于事件AB,A 和 B两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P(AB)+P(A )+P( B)=0.002 5+0.095=0.097 5.
7.解析：由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为,,.某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为××=.
答案:
8.解析：设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件B,则P(AB)=P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.
答案:0.75
9.解析：记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
(1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=××1-=.
(2)该选手至多进入第二轮考核的概率为
P(+A1)=P()+P(A1)P()=1-+×1-=.
10.解析：设Ai={第i次拨号接通电话},i=1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为A3,
于是所求概率为P(A3)=××=;
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1+A2+A3,由于事件A1,A2,A3两两互斥,于是所求概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+×+××=.
素养提升
1.B 因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).
2.C 甲、乙两队进行足球友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,甲队战胜乙队包含两种情况:
①甲连胜2局,概率为P1=()2=.
②前两局甲队一胜一负,第三局甲队胜,概率为
P2=××+××=.
则甲队战胜乙队的概率为
P=P1+P2=+=.
3.解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生,
故所求概率为P=P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.
答案:0.46
4.解析：在甲、乙、丙处投中分别记为事件A,B,C,恰好投中两次为事件AB,AC,
BC发生,故恰好投中两次的概率:P=××(1-p)+×(1-)×p+(1-)××p=,
解得p=.
答案:
5.解析：(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有:P(A0)=×=,P(A1)=2××=,P(A2)=×=,P(B0)=×=,P(B1)=2××=.
所求概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=×+×+×=.
(2)所求概率P'=1-=.
6.解析：(1)设A=“元件A正常工作”,B=“元件B正常工作”,C=“元件C正常工作”,则A,B,C相互独立.P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.8,
故P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.5×0.6×0.8=0.24,
P2=P(A)[1-P( )]=0.5×(1-0.4×0.2)=0.46.
(2)P(A)=P(B)=P(C)=P,
P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P3,
P2=P(A)[1-P( )]=P[1-(1-P)2],
P1-P2=P3-P[1-(1-P)2]=2P3-2P2=2P2(P-1),
又0
基础知识
1.相互独立事件
对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为 .
2.相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立,那么A与 , 与B, 与 也相互独立.
3.相互独立事件与互斥事件有什么区别
4.相互独立事件同时发生的概率公式的推广
如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)= .
基础巩固
一、单选题
1.坛子中放有3个白球,2个黑球,从中进行不放回地取球两次,每次取一球,用A1表示第一次取得白球,A2表示第二次取得白球,则A1和A2是( )
A.互斥事件
B.相互独立事件
C.对立事件
D.不相互独立的事件
2.某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛,现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4;每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响;现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则其中一名同学得2分的概率为 ( )
A.0.5 B.0.48 C.0.4 D.0.32
3.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是 ( )
A. B. C. D.
4.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 ( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
二、多选题
5.正四面体骰子的四个面上分别标有1,2,3,4,随机地抛掷一次,记录着地的一面上的数字.事件A={1,2},B={1,3},C={1,4},则( )
A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(AC)=P(A)P(C)
C.P(BC)=P(B)P(C)
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
6.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,则两次抽奖中 ( )
A.都抽到某一指定号码的概率为0.05
B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95
C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095
D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5
三、填空题
7.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为 .
8.周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是 .
四、解答题
9.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为,,,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.
10.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率:
(1)第3次拨号才接通电话;
(2)拨号不超过3次而接通电话.
素养提升
一、选择题
1.某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为,则p= ( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两队进行足球友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则甲队战胜乙队的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
3.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是 .
4.某同学进行投篮训练,在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别是,,p,该同学站在这三个不同的位置各投篮一次,恰好投中两次的概率为,则p的值为 .
三、解答题
5.A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率;
(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
6.如图所示,用A,B,C三类不同的元件连接成两个系统N1,N2,当元件A,B,C都正常工作时,系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B,C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作;系统N1,N2正常工作的概率分别为P1,P2.
(1)若元件A,B,C正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.8,求P1,P2;
(2)若元件A,B,C正常工作的概率都是P(0