7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
基础知识
1.(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i
2.z2+z1 z1+(z2+z3)
3.z1+z2 z1-z2
4.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
基础巩固
1.C z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z对应的点为(-1,-3),它位于第三象限.
2.D 因为z1=2+bi,z2=a+i,
所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,
所以a=-2,b=-1,
即a+bi=-2-i.
3.D 因为=+ ,
所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,
所以点C对应的复数为-1+3i.
4.A 由题图可知,z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1).
5.BC 由已知=a-bi,因此z-=2bi,z+=2a,|z|==||.
6.ACD 由复数的几何意义,知复数3+2i,1+i分别对应复平面内的点(3,2)与点(1,1),所以|(3+2i)-(1+i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离,故A说法正确;B说法错误;
|(3+2i)-(1+i)|=|2+i|,|2+i|可表示点(2,1)到原点的距离,故C说法正确;|(3+2i)-(1+i)|=|(1+i)-(3+2i)|=|-2-i|,|-2-i|可表示点(-2,-1)到原点的距离,即坐标为(-2,-1)的向量的模,故D说法正确.
7.解析：方法一:设z=x+yi(x,y∈R),
因为z+1-3i=5-2i,
所以x+yi+(1-3i)=5-2i,
即x+1=5且y-3=-2,
解得x=4,y=1,所以z=4+i.
方法二:因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
答案:4+i
8.解析：因为复数与复平面内的点一一对应,且,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,所以=(-2,1),=(3,2),=(1,5),则=-=(5,1),而=-=(4,-4),故向量表示的复数为4-4i.
答案:4-4i
9.解析：(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.
10.【解题指南】要求某个向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量的相等直接给出所求的结论.
解析：(1)=-,所以所表示的复数为-3-2i.
因为=,所以所表示的复数为-3-2i.
(2)=-.
所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线=+,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
素养提升
1.A 设复数z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为2z-=1+3i,所以2(a+bi)-(a-bi)=1+3i,即a+3bi=1+3i,所以a=1,b=1,所以z=1+i,所以|z|=.
2.B 复数z1对应向量,复数z2对应向量.则|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|,
依题意有|+|=|-|.
所以以,为邻边所作的平行四边形是矩形,所以△AOB是直角三角形.
3.【解题指南】由已知可得=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6),再求出复数的模,从而可得△OZ1Z2的周长.
解析：因为=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6),所以||==5,||==5,||==6.
所以△OZ1Z2的周长为5+5+6=16.
答案:16
4.解析：|z-i|=|z-1|表示复数z在复平面内的对应点Z到点A(0,1),B(1,0)的距离相等,是线段AB的垂直平分线,所以点Z的轨迹方程是x-y=0.
|z+i|的最小值为点(0,-1)到直线x-y=0的距离,
所以|z+i|min=.
答案:x-y=0
5.解析：(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,
所以,,对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),
所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).
所以=-=(1,1),=-=(-2,2),
=-=(-3,1).
即对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.
(2)因为||==,||==2,
||==,
所以||2+||2=10=||2.
又因为||≠||,
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形.
6.解析：设向量表示的复数为z1-z2,O为坐标原点,
所以||=1,则△AOB为等边三角形,所以∠AOC=30°,则||=,所以||=,表示的复数为z1+z2,
所以|z1+z2|=.7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
基础知识
1.复数加法、减法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;
z1-z2=(a+bi)-(c+di)= .
2.复数加法的运算律
设z1,z2,z3∈C,则有:
交换律:z1+z2= ;
结合律:(z1+z2)+z3= .
3.复数加减法的几何意义
如图所示,设复数z1,z2对应向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,向量与复数 对应,向量与复数 对应.
4.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是什么
基础巩固
一、单选题
1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(教材改编题)a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为 ( )
A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i
3.如图,在复平面上,一个正方形的三个顶点A,B,O对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为( )
A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i
4. (教材改编题)已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是 ( )
二、多选题
5.对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下列结论中正确的是 ( )
A.z-=2a B.|z|=||
C.z+=2a D.z+=2bi
6.|(3+2i)-(1+i)|可以表示 ( )
A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离
B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离
C.点(2,1)到原点的距离
D.坐标为(-2,-1)的向量的模
三、填空题
7.(教材改编题)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z= .
8.在复平面内,O是原点,若向量,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则向量表示的复数为 .
四、解答题
9.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].
10.如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
素养提升
一、选择题
1.若复数z与其共轭复数满足2z-=1+3i,则|z|= ( )
A. B. C.2 D.
2.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
3.若复数z1=4-3i,z2=4+3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为与,则△OZ1Z2的周长为 .
4.设z∈C,且|z-i|=|z-1|,则复数z在复平面内的对应点Z(x,y)的轨迹方程是 ,|z+i|的最小值是 .
三、解答题
5.在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状.
6.已知|z2|=|z1|=1,|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
