8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
基础知识
1.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,则异面直线a,b所成的角等于 所成的角;
(2)范围: .
2.两条异面直线互相垂直:
两条异面直线所成的角是 ,记作a⊥b.
3.异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同
基础巩固
一、单选题
1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中,与棱AB垂直的棱有 ( )
A.2条 B.4条 C.6条 D.8条
2.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是 ( )
A.60° B.75° C.90° D.105°
二、多选题
4.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 ( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE⊥B1C1
三、填空题
5.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)直线AB1和CC1所成的角为 ;
(2)直线AB1和EF所成的角为 .
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,四边形BCC1B1为正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D为C1B1的中点,则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为 .
四、解答题
7.如图,直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB=AC=1,∠BAC=,A1A=4,点M为线段A1A的中点.
(1)求直三棱柱A1B1C1-ABC的体积;
(2)求异面直线BM与B1C1所成的角的余弦值.
8.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.
素养提升
一、选择题
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
2.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 ( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
二、填空题
3.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面是边长为a的菱形,∠BAD=60°,AA1=2a,则直线A1C1与B1C所成角的余弦值为 .
4.已知正四棱锥P-ABCD,PA=2,AB= ,M是侧棱PC的中点,且BM=,则异面直线PA与BM所成角为 .
三、解答题
5.在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF= ,求证:AB⊥CD.
6.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.
求证:CD1⊥EF.8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
基础知识
1.(1)直线a',b' (2)0°≤α≤90°
2.直角
3.相同点是所成的角都是90°,不同点是异面直线垂直没有交点,平面内两条直线垂直有公共点.
基础巩固
1.D 在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中,与棱AB垂直的棱有BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1,共8条.
2.A 取AD的中点H,连接FH,EH,EH∥CD,FH∥AB,则在△EFH中∠EFH=90°,
HE=2HF,从而∠FEH=30°.
3.C 设BB1=1,
如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接B1C2,则B1C2∥BC1,所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).
连接AC2,因为AB1=,B1C2=,AC2=,所以A=A+B1,则∠AB1C2=90°.
4.CD 在A中,因为三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,
所以B1E 平面BCC1B1,CC1 平面BCC1B1,所以CC1与B1E是共面直线,故A错误;
在B中,因为AE∩平面BCC1B1=E,CC1 平面BCC1B1,且E CC1,所以CC1与AE是异面直线,故B错误;
在C中,因为AE∩平面BCC1B1=E,B1C1 平面BCC1B1,且E B1C1,所以AE与B1C1是异面直线,故C正确;
在D中,因为AE⊥BC,BC∥B1C1,所以AE⊥B1C1,故D正确.
5.解析：如图.(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B(或其补角)即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.
答案:45°
(2)连接B1C,AC易得EF∥B1C,所以∠AB1C(或其补角)即为异面直线AB1和EF所成的角.
连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.
答案:60°
6.解析：如图,过点D作DF∥A1C1,交A1B1于点F,连接AF,
则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角(或所成角的补角),
因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,四边形BCC1B1为正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D为C1B1的中点,所以由题意知AD==2,
DF==,AF==,
所以异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为
cos∠ADF===,所以异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为.
答案:
7.解析：(1)因为S△ABC=×1×1=,
所以V=·A1A=×4=2.
(2)连接MC(图略).因为BC∥B1C1,所以∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角,
在△MBC中,BM=CM=,BC=,
由余弦定理得,cos∠MBC==.
8.证明：取CD1的中点G,连接EG,DG.
因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC.
因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,
所以四边形EFDG是平行四边形,所以EF∥DG,
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,
所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DG⊥CD1,
所以∠D1GD=90°,所以CD1⊥EF.
素养提升
1.C 如图,连接BD1交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM.
易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成角.
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
AB=BC=1,AA1=,
所以AD1==2,
DM==,
DB1==,
所以OM=AD1=1.
OD=DB1=.
于是在△DMO中,由余弦定理,得
cos∠MOD==,
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
2.D 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取AA1为l2,BB1为l3,取AD为l1,BC为l4,则l1∥l4;取AD为l1,AB为l4,则l1⊥l4;取AD为l1,A1B1为l4,则l1与l4异面,因此l1,l4的位置关系不确定.
3.解析：连接AC,AB1,
因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1C1∥AC,
所以∠ACB1是直线A1C1与B1C所成角(或所成角的补角).
因为底面是边长为a的菱形,∠BAD=60°,
所以AC==a,
因为AA1=2a,所以AB1=CB1==a,
所以cos∠ACB1==.
故直线A1C1与B1C所成角的余弦值为.
答案:
4.解析：如图,连接AC,BD交于点O,
连接OM,由题意得OM∥PA,
则∠OMB为异面直线PA与BM所成角.由O,M分别为AC,PC中点,得OM=PA=1.
在Rt△AOB中,易得OB=AB·sin45°=1.又BM=,即OB2+OM2=BM2,所以△OMB为直角三角形,且∠OMB=45°.
答案:45°
5.证明：如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF,EF.
因为EO∥AB且=,所以=.
因为AB=3,所以EO=2.又=,所以=,
所以OF∥DC,所以OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角,因为DC=3,所以OF=1.
在△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=()2=5,
所以OE2+OF2=EF2,所以∠EOF=90°,所以AB⊥CD.
6.证明：取CD1的中点G,连接EG,DG.
因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC.
因为F是AD的中点,且AD∥BC,
AD=BC,所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,
所以四边形EFDG是平行四边形,
所以EF∥DG,
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,
所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,
所以异面直线CD1,EF所成的角为90°,
即CD1⊥EF.
