6.1 平面向量的概念
基础知识
1.大小 方向
2.0 0 1 相同或相反 a∥b 零向量
相等 相同 a=b
3.0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,|0|=0.0有方向,其方向是任意的.
4.相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同.
基础巩固
1.C
2.D 由=知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知,||=||,且方向相同.
3.D 如图,
向量,,,方向不同,起点不同,不是平行向量,是模相等的向量.
4.C 每个小正方形的边长为1,则对角线长为,每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量.
5.AC 对于A选项,若a=b,则a与b平行,A选项合乎题意;对于B选项,若=,但a与b的方向不确定,则a与b不一定平行,B选项不合乎题意;对于C选项,若a与b的方向相反,则a与b平行,C选项合乎题意;对于D选项,a与b都是单位向量,这两个向量长度相等,但方向不确定,则a与b不一定平行,D选项不合乎题意.
6.CD 有向线段与的方向相反,不表示同一向量,A错误;
由单位向量的定义知,凡长度为1的向量均称为单位向量,但是对方向没有任何要求,B错误;
因为||=||,所以当是单位向量时,也是单位向量,C正确;
因为向量||=1,
所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点,D正确.
7.解析：由题干图形可知,的几何意义是从A点沿南偏西30°方向,行走了2 km.
答案:30° 2
8.解析：=,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故①不正确;在 ABCD中,||=||,与平行且方向相同,故=,故②正确;a=b,则|a|=|b|,且a与b的方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c的方向相同,则a与c长度相等且方向相同,故a=c,故③正确.
答案:②③
9.解析：(1)与共线的向量:,,,,,,,,,,.
(2)与相等的向量:,,.
10.解析：(1)由题意,作出向量,,,,如图所示.
(2)依题意知,△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.又因为∠ACD=45°,CD=1 000 km,所以△ACD为等腰直角三角形,所以AD=1 000 km,∠CAD=45°,所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km.
素养提升
1.B ①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量的方向不确定,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.
2.ABC 与相等的向量只有,A正确;由已知条件可得||=||=||=||=||=||=||=||=||=||,B正确;如图,过点B作DA的垂线交DA的延长线于点E,
因为∠DAB=120°,四边形ABCD为菱形,
所以∠BDE=∠ABE=30°,
在Rt△BED中,||=,
在Rt△AEB中,||=||=||,
所以||==||,C正确;与方向相同,大小相等,故=,与共线,D错误.
3.解析：由= BA∥CD且||=||,又||=||,故四边形ABCD为菱形.
答案:菱形
4.解析：由题图可知,显然与不平行,与不平行,所以③④不正确.又因为等腰三角形ABC的边长不确定,所以不能确定是否为单位向量,所以①不正确.依题意,知CD=BC,所以②正确.
答案:②
5.解析：(1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示.
(2)由于点B在点A正东方向处,且=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°处,且=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示.
6.解析：(1)根据题意,与向量共线的向量为:,,.
(2)因为四边形ABCD是平行四边形,AB∥CD,AB=CD,且E,F分别为边CD,AB的中点,
所以BF=ED,且BF∥ED,所以四边形BFDE是平行四边形,所以BE=FD,且BE∥FD,所以=.6.1 平面向量的概念
基础知识
1.向量:既有 又有 的量.
2.向量的有关概念
零向量 长度为 的向量,记作
单位向量 长度等于 个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量,向量a,b平行,记作 规定: 与任意向量平行
相等向量 长度 且方向 的向量,向量a,b相等,记作
3.0与0相同吗 0是不是没有方向
4.相等向量一定是共线向量吗 共线向量一定是相等向量吗
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)下列量不是向量的是 ( )
A.力 B.速度 C.质量 D.加速度
2.如图,在四边形ABCD中,=,则相等的向量是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
2题图
4题图
3.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是 ( )
A.相等向量 B.平行向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
4.如图是4×3的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有 ( )
A.12个 B.18个 C.24个 D.36个
二、多选题
5.已知a,b是任意两个向量,下列条件能判定向量a与b平行的是 ( )
A.a=b
B.|a|=|b|
C.a与b的方向相反
D.a与b都是单位向量
6.下列说法正确的是 ( )
A.有向线段与表示同一向量
B.若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反
C.若向量是单位向量,则也是单位向量
D.以坐标平面上的定点A为起点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆
三、填空题
7.
如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿南偏西 方向行走了 km.
8.给出下列命题:
①若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;
②在 ABCD中,一定有=;
③若a=b,b=c,则a=c.
其中所有正确命题的序号为 .
四、解答题
9.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,四边形BCGF是平行四边形,试分别写出与共线及相等的向量.
10.已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.
(1)作出向量,,,;
(2)问:D地在A地的什么方向 D地距A地多远
素养提升
一、选择题
1.若a为任意非零向量,b的模为1,给出下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是 ( )
A.①④ B.③
C.①②③ D.②③
2.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 ( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
2题图
4题图
二、填空题
3.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为 .
4.如图,在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则下列结论正确的是 .
①是单位向量;②||=||;③∥;④∥.
三、解答题
5.(教材改编题)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°;
(2),使=4,点B在点A正东;
(3),使=6,点C在点B北偏东30°.
6.在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,如图所示.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
