6.2.2 向量的减法运算
基础知识
1.相反向量
与向量a长度 ,方向 的向量叫做a的相反向量,记作 .
2.方向相反的向量就是相反向量吗 互为相反向量的两个向量一定是共线向量吗
3.向量的减法
(1)定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b= .
(2)几何意义:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则 =a-b,即a-b可以表示从向量 的终点指向向量 的终点的向量.
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)化简+--的结果是 ( )
A. B.
C. D.
2.如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为 ( )
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a+c
D.b-a-c
3.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是 ( )
A.a与b的长度必相等
B.a∥b
C.a与b一定不相等
D.a是b的相反向量
4.在△ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,则-等于 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
5.下列四式中能化简为的是 ( )
A.+(+)
B.(+)+(-)
C.-+
D.+-
6.如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.-= B.-=
C.-=0 D.-=
三、填空题
7.已知 ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则= ,= .(用a,b表示)
8.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|= ,|a-b|= .
四、解答题
9.向量a,b,c,d,e如图所示,据图解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
10.(教材改编题)如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
素养提升
一、选择题
1.已知A,B,C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若+=+,则下列结论正确的是 ( )
A.点P在△ABC内部 B.点P在△ABC外部
C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上
2.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点,且向量,,,满足+=+,则四边形ABCD的形状为 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
二、填空题
3.如图,已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则a-b+c-d= .
三、解答题
4.如图,在△ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.
5.在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,=a,=b,若|a|=|a+b|=2,求|a-b|的值.6.2.2 向量的减法运算
基础知识
1.相等 相反 -a
2.相反向量的长度相等,只是方向相反的向量不一定是相反向量.方向相同或相反的向量是共线向量,所以互为相反向量的两个向量一定是共线向量.
3.(1)a+(-b) (2) b a
基础巩固
1.C 因为+=,
所以+--=-=.
2.C =+=-+=b-a+c.
3.C 根据相反向量的定义可知,C错误,因为0与0互为相反向量,但0与0相等.
4.D 如图所示,在△ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,可得=,=,则-=-==.
5.ABC A中,+(+)=++=+=+=;
B中,(+)+(-)=++-=++-=+=;
C中,-+=+=;
D中,+-=-=+,显然+-不能化简为.
6.BD -=,A错;-==,B正确;-=+=≠0,C错;-=,D正确.
7.解析：如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.
答案:b-a -a-b
8.解析：因为a,b为相反向量,所以a+b=0,即|a+b|=0,又a=-b,所以|a-b|=|2a|=2.
答案:0 2
9.解析：由题图知=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=++=d+e+a;
(2)=-=--=-b-c;
(3)=++=e+a+b;
(4)=-=-(+)=-c-d.
10.解析：(1)=+=a+b,
=-=a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,即AC⊥BD.
因为当|a|=|b|时,平行四边形ABCD为菱形,此时AC⊥BD,故当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
(2)不可能.因为 ABCD的两对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.
素养提升
1.D 因为+=+,
所以-=-,
所以=+,-=,即=.
故点P在边AC所在的直线上.
2.A 因为+=+,
所以-=-,=.
所以||=||,且DA∥CB,
所以四边形ABCD是平行四边形.
3.解析：由题意得,+=0,所以-+-=0,
即a-b+c-d=0.
答案:0
4.解析：在△OBE中,有=+=e-c,
在△ABO中,=+=e-c-a,
在△ABD中,=+=a+b,
所以在△OAD中,=+=e-c-a+a+b=e-c+b.
5.解析：依题意,||=|a+b|=2,如图所示.
又||=|a|=2,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以BC=AB.所以 ABCD为菱形,AC⊥BD,
所以|a2|=+.
即4=1+,所以|a-b|=2.
