6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
基础知识
1.平面向量数量积的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.则:
(1)a·b= ;
(2)|a|2= ,或|a|= ;
(3)a⊥b ;
(4)若a,b为非零向量,则cos θ== .
2.向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=24,则x等于 ( )
A.6 B.2
C.4 D.3
2.已知向量a=(2,-1),b=(3,-2),c=(1,m),若(a-b)⊥c,则|c|= ( )
A.1 B.
C. D.2
3.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,D为BC的中点,E,F都在线段AB上,且AE=EF=FB,则·= ( )
A. B.
C.-2 D.2
4.已知向量a=,b=,且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.∪
二、多选题
5.已知两个非零向量a,b满足2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),则下列结论中正确的是 ( )
A.a=(1,3) B.b=(3,2)
C.a·b=-1 D.a+b=(4,5)
6.设向量a=(1,-1),b=(2,0),则下列结论中成立的有( )
A.|a-b|=|a|
B.(a-b)∥a
C.(a-b)⊥a
D.a在b上的投影向量为(1,0)
三、填空题
7.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则x+y= .
8.已知向量a,b满足a=(-1,1),|b|=2|a|,且a·b=1,则a,b夹角的余弦值为 .
四、解答题
9.(教材改编题)已知向量a=(1,1),b=(-3,4).
(1)求的值;
(2)求向量a与a-b夹角的余弦值.
10.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.
素养提升
一、选择题
1.(教材改编题)已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.(多选题)设向量a=,b=,则下列叙述错误的是 ( )
A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角
B.的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个为,-
D.若=2,则k=2或-2
二、填空题
3.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是 .
4.已知点P(1,1),O为坐标原点,点A,B分别在x轴和y轴上,且满足PA⊥PB,则(+)·= ,|+|的最小值为 .
三、解答题
5.设平面向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=-,.
(1)求证:向量a+b与a-b垂直;
(2)若向量a+b与a-b的模相等,求角α.
6.已知A(3,2),B(-2,1),C(1,-1)且=-2.
(1)证明:△ABC是等腰直角三角形;
(2)求cos∠APC.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
基础知识
1.(1)x1x2+y1y2 (2)+
(3)x1x2+y1y2=0 (4)
2.向量垂直与向量平行的条件容易混淆,注意以下特点:
项目 坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2-x2y1=0 交叉相乘差为0
基础巩固
1.B 由题意得8a-b=(6,3),c=(3,x),
所以(8a-b)·c=18+3x=24,解得x=2.
2.B 由题设可得a-b=(-1,1),
因为(a-b)⊥c,故-1×1+1×m=0,
解得m=1,所以c=(1,1),故|c|=.
3.A 如图,建立平面直角坐标系,
则D(0,1),E,F,
所以=,=,
所以·=2×1-×=2-=.
4.D a与b的夹角为锐角,
,解得k>-且k≠2,
即k的取值范围是∪(2,+∞).
5.AC 因为2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),所以5a=2(4,5)+(-3,5)=(5,15),所以a=(1,3),所以b=(4,5)-2(1,3)=(2,-1),所以a·b=2-3=-1,a+b=(3,2).
6.ACD 因为a=(1,-1),b=(2,0),所以a-b=(-1,-1),
对A:|a-b|=,|a|=,所以|a-b|=|a|,故A正确;
对B:因为1×(-1)-(-1)×(-1)=-2≠0,所以a-b与a不平行,故B错误;
对C:(a-b)·a=-1+1=0,所以(a-b)⊥a,故C正确;
对D:a在b上的投影为==1,则a在b上的投影向量为(1,0),故D正确.
7.解析：因为向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,所以a·c=2x-4=0,得x=2,1×(-4)=2y,解得y=-2,所以x+y=2-2=0.
答案:0
8.解析：由题意得|a|=,|b|=2,a·b=1,设a,b夹角为θ,则cos θ===.
答案:
9.解析：(1)因为a-b=(4,-3),所以|a-b|=5;
(2)由(1)知a·(a-b)=·
=1×4+1×=1,=,|a-b|=5,
所以cos
===.
10.解析：因为=(4,0)-(1,2)=(3,-2),=(8,6)-(5,8)=(3,-2),
所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.
因为=(5,8)-(1,2)=(4,6),
所以·=3×4+(-2)×6=0,
所以⊥,所以四边形ABCD是矩形.
因为||=,||=2,||≠||,所以四边形ABCD不是正方形.
综上,四边形ABCD是矩形.
素养提升
1.B 由已知=(1,1),=(-3,3),
所以cos A===0,则A=,所以△ABC是直角三角形.
2.CD 对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,
则k-2<0且-k≠2,解得k<2且k≠-2,故选项A正确,不符合题意;对于选项B,=≥2,当且仅当k=0时,等号成立,故选项B正确,不符合题意;
对于选项C,=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为,-或-,,故选项C错误,符合题意;
对于选项D,=2=2,即=2,解得k=±2,故选项D错误,符合题意.
3.解析：以A为坐标原点,AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1).
可设F(x,2),因为·=(,0)·(x,2)=x=,
所以x=1,所以·=(,1)·(1-,2)=.
答案:
4.解析：设A(a,0),B(0,b),则=(a-1,-1),
=(-1,b-1),
因为PA⊥PB,所以·=(a-1)×(-1)+(-1)×(b-1)=0,
所以a+b=2,则(+)·=(a-2,b-2)·(-1,-1)=4-(a+b)=2,
|+|=
==
=,
所以当a=1时,|+|取得最小值.
答案:2
5.解析：(1)由题意,知a+b=,
a-b=cos α+,sin α-.
所以(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
(2)易得|a|=1,|b|=1.由题意,
知(a+b)2=(a-b)2,化简得a·b=0,
所以-cos α+sin α=0,所以tan α=.
又0≤α<2π,所以α=或α=.
6.解析：(1)由题意得=(2,3),=(-3,2),
因为·=0,所以CA⊥CB,
所以△ABC是直角三角形,
又因为||==,||==,
所以||=||,所以△ABC是等腰直角三角形.
(2)设点P(x,y),则=(x-3,y-2),
=(-2-x,1-y),
因为=-2,所以x-3=4+2x且y-2=2y-2,解得x=-7,y=0,
所以P(-7,0),所以=(8,-1),=(10,2),
所以·=78,||=,||=2,
所以cos∠APC==.