6.2.3 向量的数乘运算
基础知识
1.向量 ①|λ||a| ②相同 相反
2.(1)(λμ)a (2)λa+μa (3)λa+λb
3.(1)加 减 数乘 (2)仍是向量 (3)λμ1a±λμ2b
4.b=λa
5.不能,定理中之所以限定a≠0是因为若a=b=0,λ存在,但不唯一,若a=0,b≠0,则λ不存在.
基础巩固
1.C +2b=×2a-×4b+2b=a-2b+2b=a.
2.A =-=-=3e2-2e1,== e2-e1.
3.C 因为|a|=3,|b|=1,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=|λ|,所以λ=±3.
【误区警示】本题易误认为|a|=λ|b|而错选A.
4.B 因为E,F分别是矩形ABCD的边CD,BC的中点,
所以2+=2+2++=2++-=+.
5.ABD 若a=0,则任意一个非零实数与向量a的积都是一个零向量,故A不正确;零与任意一个向量a的积都是零向量,故B不正确;根据向量共线定理:任意一个非零向量a,有向量b=λa(λ∈R)与其共线,故C正确;根据向量共线定理,若a∥b,且b≠0,则一定存在实数λ,使得a=λb,故D不正确.
6.ABC A中,a=-b,所以a,b共线;B中,b=-2a,所以a,b共线;C中,a=4b,所以a,b共线;D中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.
7.解析：因为b与a方向相反,
所以设a=λb(λ<0),则 = ,
所以5=|λ|×7,可得λ=± ,
又λ<0,所以λ=-.
答案:-
8.解析：因为,共线,设=k(0≤k≤1),
又B是CD的中点,+=2,
则=2-,=2k-k,
又=λ+μ,
所以
所以t=λ-μ=3k≤3,故t的最大值为3.
答案:3
9.解析：因为=-=a-b,
所以= = =(a-b),
所以=+=b+(a-b)
=b+a-b=a+ b;
由=+=a+b,
得= += =a+b;
=-= - =a-b.
10.证明：如图所示:
因为=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b),
所以=2.所以与共线,且||=2||.
又因为这两个向量所在的直线不重合,
所以AD∥BC,且AD=2BC.
所以四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.
素养提升
1.B 因为+2+3=0,
所以2(+)=-(+).
设E,F分别为AC,BC的中点,
则2·2=-2 =-2,
所以O是线段EF的三等分点,
所以 = = × = ,
因为OF∥AB,所以 = = =
所以 = ,所以 = = ,
所以=- 2+3=0,
由=得=,
所以=- +5=0.
综上分析可知,只有选项B正确.
2.B 为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈[0,+∞),
所以λ的方向与+的方向相同.而=+λ,
所以点P在上移动.
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
3.解析：由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
答案:-3a+4b
4.解析：由F为DE的中点,利用向量平行四边形法则可得:=+,利用向量三角形法则知:=+=+=+,
所以=+=+,
因为=m+n,所以m=,n=,
所以m+n=+=.
答案:
5.解析：由题意
解得=a-b,=a-b,
所以=-=a+b.
6.解析：(1)由已知得=-=-=e1-4e2.
因为=2e1-8e2,所以=2.
又与有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
(2)由(1)可知=e1-4e2,
又=3e1-ke2,
所以可设=λ,
所以3e1-ke2=λe1-4λe2,
即,解得k=12.6.2.3 向量的数乘运算
基础知识
1.向量的数乘运算
定义:规定实数λ与向量a的积是一个 ,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:
①|λa|= ;
②当λ>0时,λa的方向与a的方向 ;
当λ<0时,λa的方向与a的方向 .
2.向量数乘的运算律
设λ,μ为实数,则(1)λ(μa)= ;
(2)(λ+μ)a= ;
(3)λ(a+b)= .
特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
3.向量的线性运算
(1)定义:向量的 、 、 运算的统称.
(2)运算结果:向量线性运算的结果 .
(3)运算律:对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= .
4.两个向量共线的充要条件
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使 .
5.两个向量共线的充要条件中的“a≠0”是否可以去掉
基础巩固
一、单选题
1.已知向量a,b,那么(2a-4b)+2b等于( )
A.a-2b B.a-4b
C.a D.b
2.若点O为平行四边形ABCD的中心,=2e1,=3e2,则e2-e1= ( )
A. B. C. D.
3.已知向量a,b满足:|a|=3,|b|=1,且a=λb,则实数λ= ( )
A.3 B. C.±3 D.±
4.如图,E,F分别是矩形ABCD的边CD,BC的中点,则2+= ( )
A. + B.+
C.+ D.+2
二、多选题
5.下列各说法中,不正确的是 ( )
A.任意一个非零实数与向量a的积都是一个非零向量
B.零与任意一个向量a的积都是零
C.对于任意一个非零向量a,向量λa(λ∈R)可以表示所有与a共线的向量
D.若a∥b,则一定存在实数λ,使得a=λb
6.(教材改编题)若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的为 ( )
A.a=2e1,b=-2e1;
B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
C.a=4e1-e2,b=e1- e2;
D.a=e1+e2,b=2e1-2e2.
三、填空题
7.(教材改编题)若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a= b.
8.如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,
若=λ+μ,则t=λ-μ的最大值是 .
四、解答题
9.如图,在平行四边形OADB中,向量=a,=b,且=,=,试用a,b表示,,.
10.已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,求证:四边形ABCD为梯形.
素养提升
一、选择题
1.△ABC内,点O满足+2+3=0,直线AO交BC于点D,则下列正确的是 ( )
A.3+2=0 B.2+3=0
C.-5=0 D.5+=0
2.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
二、填空题
3.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x= .
4.如图,在矩形ABCD中,=2,F为DE的中点,若=m+n,则m+n= .
三、解答题
5.如图,在 ABCD中,E是BC的中点,点F为AB的中点,设=a,=b,用a,b表示.
6.(教材改编题)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若=3e1-ke2,且∥,求实数k的值.
