第2课时 正弦定理
基础知识
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 相等,即 .
2.正弦定理有哪些变形公式
3.利用正弦定理可以解决哪些类型问题
基础巩固
一、单选题
1.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于 ( )
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上答案都不对
2.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= ( )
A. B.
C.6 D.5
3.(教材改编题)在△ABC中a=10,B=60°,cos C=,则c等于 ( )
A.20(+2) B.20(-2)
C.+2 D.20
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
二、多选题
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ( )
A.b=10,A=45°,C=70°
B.b=45,c=48,B=60°
C.a=14,b=16,A=45°
D.a=7,b=5,A=80°
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=,a2+b2-c2=absinC,acosB+bsinA
=c,则下列结论正确的是 ( )
A.tanC=2
B.A=
C.b=
D.△ABC的面积为6
三、填空题
7.在△ABC中,已知a∶b∶c=4∶3∶5,则= .
8.(教材改编题)在△ABC中,若B=30°,AB=2,AC=2,则AB边上的高是 .
四、解答题
9.在△ABC中,A=60°,sin B=,a=3,求三角形中其他边与角的大小.
10.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断三角形的形状.
素养提升
一、选择题
1.在△ABC中,A=60°,a=2,b=4,那么满足条件的△ABC ( )
A.有一个解 B.有两个解
C.无解 D.不确定
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
4.在△ABC中,若C=2B,则的取值范围为 .
三、解答题
5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.第2课时 正弦定理
基础知识
1.正弦的比 ==
2.正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径,则
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)sin A=,sin B=,sin C=;
(3)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c;
(4)=2R;
(5)S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.
3.(1)已知两角和任意一边,解三角形;
(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形.
基础巩固
1.C 因为sin B===,所以B=45°或135°.
因为a>b,所以当B=135°时,不符合题意,
所以B=45°.
2.B 因为sin A=6sin B,由正弦定理可得a=6b,
又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,
所以c2=a2+b2-2abcos C,
即c2=62+12-2×6×1×,解得c=.
3.B 由cos C=得,
sin C===,
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.
由正弦定理得,
c=a·=10×=10××=20(-2).
4.D 已知c-acos B=(2a-b)cos A,
由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,
所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,化简得cos A(sin B-sin A)=0,
所以cos A=0或sin B-sin A=0,
则A=90°或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
5.BC 选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.
选项B:因为sin C==<1,且c>b,所以角C有两解.
选项C:因为sin B==<1,且b>a,所以角B有两解.
选项D:因为sin B=<1,且b
6.ABD 因为a2+b2-c2=absinC,
所以cosC===,
所以tanC==2,故A正确;
因为acosB+bsinA=c,利用正弦定理可得sinAcosB+sinBsinA=sinC,因为C=π-(A+B),
所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),
所以sinAcosB+sinBsinA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sinBsinA=cosAsinB.
因为B∈(0,π),所以sinB≠0,
所以tanA=1,又A∈(0,π),所以A=,故B正确;
因为tanC=2,C∈(0,π),所以sinC=,cosC=,
所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
=×+×=,因为=,
所以b===3,故C错误;
S△ABC=absinC=××3×=6,故D正确.
7.解析：设a=4k,b=3k,c=5k(k>0),
由正弦定理,得===1.
答案:1
8.解析：由正弦定理,得=,
所以sin C===,
所以C=60°或120°,
当C=60°时,A=90°,AB边上的高为2;
当C=120°时,A=30°,AB边上的高为2sin 30°=1.
答案:1或2
9.解析：因为sin B=,所以B=30°或150°.
当B=30°时,由A=60°得C=90°;
当B=150°时,不合题意,舍去.
所以由正弦定理==,
得b=·a=×3=,
c=·a=×3=2.
10.解析：由已知得=,
由正弦定理得=.
因为sinA,sinB均不为0,所以sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B.
所以2A+2B=π或2A=2B.
所以A+B=或A=B.
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.
素养提升
1.C 因为a=2,b=4,A=60°,所以a2.C 根据余弦定理可知cosA==,因为0°则△ABC的形状是等边三角形.
3.解析：在△ABC中,由cos A=,cos C=,
可得sin A=,sin C=,sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.
又a=1,由正弦定理得b==.
答案:
4.解析：因为A+B+C=180°,C=2B,
所以A=180°-3B>0°,
所以0°所以因为===2cos B,1<2cos B<2,所以1<<2.
答案:(1,2)
5.解析：(1)由已知和正弦定理,得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理,得cosA===-.
因为0°(2)由a2=b2+c2+bc,
得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.①
由sinB+sinC=1,
得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1.②
由①②及sinA=,得sinBsinC=,
所以sinB=sinC=.
因为0°所以△ABC是等腰三角形.