7.1.2 复数的几何意义
基础知识
1.不是,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.(a,b)
3.不是,复数与以原点为起点的向量一一对应,并非复平面上的所有向量.
4.向量的模
5.|z|表示复平面内的点Z到原点的距离.
6.a-bi
基础巩固
1.C 由题意得,z=-1+2i,所以复数Z的虚部为2.
2.D 因为复数z=2+i,所以=2-i,则在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),位于第四象限.
3.B 由题意得A(-1,2),则B(-2,1),所以向量表示的复数为-2+i.
4.C z=(m+1)+(m-1)i对应的点为(m+1,m-1),因为对应的点位于第四象限,
得
解得-1
5.BCD 因为复数z=1+i,所以其虚部为1,即A错误;|z|==,故B正确;复数z的共轭复数=1-i,故C正确;复数z在复平面内对应的点为(1,1),显然位于第一象限,故D正确.
6.ACD 由z=(m+3)+(m-1)i(m∈R),得P(m+3,m-1),
由得m>1;由得m∈ ;
由得m<-3;由
得-3由上可知,P点可能在第一、三、四象限.
7.解析：复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.
答案:-3 -4
8.解析：因为z为纯虚数,所以设z=ai(a∈R,且a≠0),
则|z-1|=|ai-1|=.
又因为|-1+i|=,所以=,即a2=1,
所以a=±1,即z=±i.
答案:±i
9.解析：(1)由已知得,,所对应的复数分别为1+4i,-3i,2,则=(1,4),=(0,-3),=(2,0),
因此+=(1,1),=-=(1,-4),
故+对应的复数为1+i,对应的复数为1-4i.
(2)方法一:由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),
则AC的中点为,
由平行四边形的性质知BD的中点也是,
若设D(x0,y0),则有解得
故D(3,7). 点D对应的复数为3+7i.
方法二:由已知得=(1,4),=(0,-3),=(2,0),
所以=(1,7),=(2,3),
由平行四边形的性质得=+=(3,10),
所以=+=(3,7),于是D(3,7).点D对应的复数为3+7i.
10.解析：(1)|z1|=|+i|==2,
|z2|==1,所以|z1|>|z2|.
(2)由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),
故点Z到原点的距离为2.
所以点Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
素养提升
1.A 由题意得<,即<(a∈R),所以-12.A 由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0,
即|z|=3或|z|=-1.因为|z|≥0,所以|z|=3,所以复数z对应点的集合是以坐标原点为圆心,3为半径的圆.
3.解析：不妨令z=-i,
则|z|==1,复数z在复平面内对应的点,位于第四象限,满足①②,故z=-i符合题意.
答案:-i(答案不唯一)
4.解析：因为z=a+i(a∈R),|z|<,所以<,
所以a2<1,所以-1所以(a-1)+i在复平面内对应的点(a-1,1)位于第二象限.
答案:二
5.解析：(1)由题意得解得3(2)由题意得或
所以m>7或-2此时复数z对应的点位于第一、三象限.
(3)要使复数z对应的点在直线y=x上,只需m2-5m-14=m-3,所以m2-6m-11=0,所以m=3±2,
此时复数z对应的点位于直线y=x上.
6.解析：(1)在复平面内,z1与z2对应的点关于实轴对称,
则
(k∈Z),所以θ=2kπ+(k∈Z).
(2)由|z2|<,得<,
即3sin2θ+cos2θ<2,所以sin2θ<,
所以kπ-<θ基础知识
1.虚轴上的点都表示纯虚数吗
2.复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z 一一对应,
与向量一一对应.
3.复数与复平面上的向量都是一一对应的关系吗
4.复数的模
称为复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.
即|z|=|a+bi|= ,其中a,b∈R.
5.|z|的几何意义是什么
6.共轭复数
复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi,a,b∈R,那么= .
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)如图,在复平面内,复数Z对应的点为P,则复数Z的虚部为 ( )
A.-1 B.2i
C.2 D.-i
2.(教材改编题)在复平面内,复数z=2+i,则对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(教材改编题)在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量表示的复数为( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
4.若z=(m+1)+(m-1)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,1) D.(-1,+∞)
二、多选题
5.已知复数z=1+i(其中i为虚数单位),则以下说法正确的有 ( )
A.复数z的虚部为i
B.|z|=
C.复数z的共轭复数=1-i
D.复数z在复平面内对应的点在第一象限
6.已知z=(m+3)+(m-1)i(m∈R)在复平面内对应的点为P,则P点可能在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
三、填空题
7.复平面上,已知实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为 ,虚部为 .
8.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,则复数z= .
四、解答题
9.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.
(1)求向量+和对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
10.已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
(2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形
素养提升
一、选择题
1.设复数z1=a+2i,z2=-2+i且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|-11}
C.{a|a>1} D.{a|a>0}
2.(教材改编题)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的集合是 ( )
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
二、填空题
3.写出一个同时满足下列条件的复数z= .
①|z|=1;②复数z在复平面内对应的点在第四象限.
4.已知复数z=a+i(a∈R).若|z|<,则(a-1)+i在复平面内对应的点位于第 象限.
三、解答题
5.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m-3)+(m2-5m-14)i的点:
(1)位于第四象限
(2)位于第一、三象限
(3)位于直线y=x上
6.已知复数z1=cos θ+isin 2θ,z2=sin θ+icos θ,求当θ满足什么条件时:
(1)z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称;
(2)|z2|<.