6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
基础知识
1.(1)不共线 任一 有且只有一对 λ1e1+λ2e2
(2)不共线
2.平面向量基本定理告诉我们,平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
3.基底的性质
(1)不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一个基底,基底不同,表示也不同.
(2)不唯一性
对基底的选取不唯一.平面内任一向量a都可被这个平面的一个基底{e1,e2}线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.
(3)若基底选取不同,则表示同一向量的实数λ1,λ2可以不同,也可以相同.
基础巩固
1.C 在△ABC中,D为BC的中点,则=(+),又=3,所以=,所以=×(+)=+.
2.C 因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使=t,
则-=t(-).
所以=+t(-)=(1-t)+t.
所以解得λ=-.
3.B 根据题意不妨取如图所示的两个互相垂直的单位向量e1,e2,
则a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2.
因为c=λa+μb(λ,μ∈R),
所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,
所以解得所以=4.
4.B 如图,a=(+),
b=(+),相减得b-a=(-),
所以=2(b-a).
5.AC B中与共线,D中与共线,AC中两向量不共线.
6.ABD 由题意可知,=+=+,=+=+,故A,B正确;
·-·=(-)·=·
=·=0,故D正确;
·=(+)·(+)
=+·+
=×42+×4×4×+×4×4=26,故C不正确.
7.解析：设c=λa+μb,
则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)
=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,
因为e1,e2不共线,
所以解得
故c=2a-2b.
答案:2a-2b
8.解析：方法一:=-
=-b--a=a-b.
方法二:==(a-b).
答案:(a-b)
9.解析：=++=-++
=-++=a-b.
=++=-++=b-a.
10.解析：EF⊥EG,证明如下:
设=a,=b,由题意,
=-=-=b-a,
=+=+=a+b,所以·=-
=×-=0,
所以⊥,即EF⊥EG.
素养提升
1.C 当点P落在第Ⅰ部分时,按向量与分解时,一个与反向,一个与同向,故a<0,b>0.
2.A 因为CD=DA,DE⊥AC,
所以E是AC 的中点,
所以=+=+=-,
又因为DC∥AB,DC=AB,
所以=,
所以=-.
3.解析：如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,
则=+.
因为∠EOA=120°,∠AOC=30°.
所以∠EOC=90°,所以∠DCO=90°.
在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,
所以||=4,||=2,
故=4,=2,
即λ=4,μ=2,
所以λ+μ=6.
答案:6
4.解析：由=+可知M,B,C三点共线,如图,
令=λ,则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ λ=,所以=,
即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.
答案:1∶4
5.解析：设=a,=b,则=+=+=a+b,①
=+=+=a+b,②
由①②得解得
即=-c+d,=c-d.
6.解析：(1)根据条件,=+
=+
=-+
=-+(-)
=-+=-a+b;
(2)=+=a+=a+b,
=+=+=+(-)=+=a+b,
所以=2,所以A,M,N三点共线.6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
基础知识
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的 向量a, 实数λ1,λ2,使a= .
(2)基底: 的向量{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量基本定理叙述了平面内一个怎样的理论事实
3.基底有哪些性质
基础巩固
一、单选题
1.如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E在AD上,且=3,则= ( )
A.+ B.+
C.+ D.+
2.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有=+λ,则λ等于 ( )
A. B. C.- D.-
3.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= ( )
A.2 B.4 C.5 D.7
4.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于 ( )
A.a-b B.2(b-a)
C.2(a-b) D.b-a
二、多选题
5.
如图所示,设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,下列向量组可作为该平面内所有向量的基底的是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6.(教材改编题)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=,E,F分别为CD,BC的中点,则正确的是 ( )
A.=+
B.=+
C.·=25
D.·=·
三、填空题
7.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c= .(用a,b表示)
8.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M,N分别为DC,BC边上的中点,已知=a,=b,用基底{a,b}表示= .
四、解答题
9.如图所示,在 ABCD中,点E,F分别为BC,DC边上的中点,DE与BF交于点G,若=a,=b,试用基底{a,b}表示向量,.
10.如图,在平行四边形ABCD中,AD=AB,点E是AB的中点,AF=AD,BG=BC,判断EF与EG的位置关系并用向量方法证明.
素养提升
一、选择题
1.如图所示,平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界),若=a+b,且点P落在第Ⅰ部分,则实数a,b满足 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
1题图
2题图
2.如图,在等腰梯形ABCD中,DC=AB,BC=CD=DA,DE⊥AC 于点E,则= ( )
A.- B.+
C.- D.+
二、填空题
3.如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于 .
4.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足:=+.则△ABM与△ABC的面积之比为 .
三、解答题
5.如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示,.
6.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,DM=DE,若=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)若N为线段BC上的点,且BN=BC,利用向量方法证明:A,M,N三点共线.
