7.2.2 复数的乘、除运算
基础知识
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=________________.
2.复数的乘法与多项式乘法有何异同
3.复数乘法的运算律
对于任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=____
结合律 (z1z2)z3=______
分配律 z1(z2+z3)=________
4.复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)==______________(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
5.你认为复数除法运算的实质是什么 它与我们以前学习的什么运算较类似
6.两个共轭复数的和一定是实数吗 两个共轭复数的差一定是纯虚数吗
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)已知复数(a-i)(1+2i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 ( )
A. B.- C.-2 D.2
2.如图所示,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若1+2i(i为虚数单位)是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则 ( )
A.b=2,c=-3 B.b=2,c=5
C.b=-2,c=-3 D.b=-2,c=5
4.已知复数z满足·z+2i=3+ai,a∈R,则实数a的值不可能是 ( )
A.1 B.-4 C.0 D.5
二、多选题
5.下面是关于复数z=(i为虚数单位)的说法,其中正确的为 ( )
A.|z|=2 B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1
6.设i为虚数单位,复数z=(a+i)(1+2i),则下列命题正确的是 ( )
A.若z为纯虚数,则实数a的值为2
B.若z在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是
C.实数a=-是z=(为z的共轭复数)的充要条件
D.若z+|z|=x+5i(x∈R),则实数a的值为2
三、填空题
7.(教材改编题)若复数z满足(1+i)z=4+2i,则z的虚部为________.
8.计算···…·=________.
四、解答题
9.计算:
(1)+;(2).
10.已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3=1+3i,求z.
素养提升
一、选择题
1.(教材改编题)方程x2+6x+13=0的一个根是 ( )
A.-3-2i B.3+2i
C.-2+3i D.2+3i
2.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·等于 ( )
A. B. C.1 D.2
二、填空题
3.在复平面内,复数z=+(1-i)2对应的点位于第________象限;||=________.
4.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=________.
三、解答题
5.已知复数z=.
(1)求z的实部与虚部;
(2)若z2+m+n=1-i(m,n∈R,是z的共轭复数),求m和n的值.
6.已知m∈R,一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的一个根z是纯虚数,求|z+m|.7.2.2 复数的乘、除运算
基础知识
1.(ac-bd)+(ad+bc)i
2.复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.
3.z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3
4.+i
5.复数的除法是把分子、分母同乘分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.
6.若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,则z+=2a∈R.因此,两个共轭复数的和一定是实数;而z-=2bi.当b=0时,两个共轭复数的差是实数,而当b≠0时,两个共轭复数的差是纯虚数.
基础巩固
1.C 因为(a-i)(1+2i)=(a+2)+(2a-1)i且实部为0,所以a+2=0,解得a=-2.
2.B 由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,
所以==-1+2i,对应的点在第二象限.
3.D 因为1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,所以方程的另一个根为x=1-2i,由根与系数的关系,得-b=2,c=(1+2i)(1-2i),所以b=-2,c=5.
4.D 设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,
所以x2+y2+2i(x-yi)=3+ai,
所以 y2+2y+-3=0,
所以Δ=4-4(-3)≥0,解得-4≤a≤4,
所以实数a的值不可能是5.
5.BD 因为z===-1-i,所以|z|=,A错误;z2=2i,B正确;
z的共轭复数为-1+i,C错误;
z的虚部为-1,D正确.
6.ACD z=(a+i)(1+2i)=a-2+(1+2a)i.
所以选项A:z为纯虚数,有可得a=2,故正确;选项B:z在复平面内对应的点在第三象限,
有解得a<-,故错误;选项C:a=-时,z==-;z=时,1+2a=0,即a=-,它们互为充要条件,故正确;选项D:z+|z|=x+5i(x∈R)时,有1+2a=5,即a=2,故正确.
7.解析：因为(1+i)z=4+2i,
所以z====3-i.
答案:-1
8.解析：因为=i,所以原式=i·i2·i3·…·i10=i1+2+3+…+10=i55=i3=-i.
答案:-i
9.解析：(1)+=+
=i-i=0.
(2)=
====-1+i.
10.解析：设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,(a,b∈R),
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则有解得或
所以z=-1或z=-1+3i.
素养提升
1.A 因为Δ=36-4×13=-16,
所以x==-3±2i.
2.【思路探求】可以化简成复数的代数形式,再利用复数的运算性质求解;也可以利用共轭复数的性质求解.
A 方法一:因为z======-+,
所以=--,所以z·=.
方法二:因为z=,
所以|z|====,
所以z·=.
3.解析：由z=+(1-i)2=i(1-i)-2i=1-i,
所以对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限,=1+i,所以||=.
答案:四
4.解析：因为a,b∈R,且=1-bi,
则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,
所以所以
所以|a+bi|=|2-i|==.
答案:
5.解析：(1)z===2+i,
所以z的实部为2,虚部为1.
(2)把z=2+i代入z2+m+n=1-i,
得(2+i)2+m(2-i)+n=1-i,
即2m+n+3+(4-m)i=1-i,
所以
解得m=5,n=-12.
6.解析：由题意可设复数z=bi,b∈R且b≠0,
因为z是一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的复数根,
所以(bi)2-(2m-1)bi+m2+1=0,
即(-b2+1+m2)-(2m-1)bi=0,
所以
解得m=,b2=,b=±,
所以z=±i,z+m=±i,
所以|z+m|==.
