6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
基础知识
基础巩固
一、单选题
1.若=3a,=-5a,且,则四边形ABCD是 ( )
A.平行四边形 B.菱形
C.等腰梯形 D.直角梯形
2.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,=(+),且||=||,则·为 ( )
A.1 B.
C.-1 D.-
3.已知D为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足=+,则的值为 ( )
A.1 B. C. D.2
4.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为 ( )
(参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s2,≈1.732)
A.63 B.69 C.75 D.81
二、多选题
5.已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则下列结论错误的是 ( )
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
6.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是 ( )
A.·=-1
B.+=0
C.=
D.在方向上的投影向量为
三、填空题
7.(教材改编题)力F=(-1,-2)作用于质点P,使P产生的位移为s=(3,4),则力F对质点P做的功是__________.
8.(教材改编题)一条两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船的速度为2 m/s,为使所走路程最短,小船应朝与水速夹角为________的方向行驶.
四、解答题
9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,求ED的长.
10.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
素养提升
一、选择题
1.已知点A,B,C,则下列结论正确的是 ( )
A.A,B,C三点共线
B.⊥
C.连接A,B,C构成锐角三角形
D.连接A,B,C构成钝角三角形
2.已知平面向量a,b的夹角为,且=,=2.在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则AD的长等于 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题
3.如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是________.(写出所有正确答案的序号)
①绳子的拉力不断增大;
②绳子的拉力不断变小;
③船的浮力不断变小;
④船的浮力保持不变.
4.已知平行四边形ABCD,AB=4,AD=,∠BAD为锐角,且sin∠BAD=,点P0是边CD上一定点,点P是边CD上一动点,若·≥·恒成立,则=________.
三、解答题
5.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|=6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.
6.如图,在 OACB中,BD=BC,OD与BA相交于点E.求证:BE=BA.6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
基础巩固
1.C 因为=3a,=-5a,
所以∥,||≠||,因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
2.A 由题意知,O为BC的中点,且∠ABC=60°,||=2,||=1,所以·=1×2×=1.
3.A 因为=+,所以PA必为以PB,PC为邻边的平行四边形的对角线.因为D为边BC的中点,所以D为PA的中点,所以=1.
4.B 由题意知,|F1|=|F2|=400 N,夹角θ=60°,所以G+F1+F2=0,即G=-(F1+F2);
所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos 60°+4002=3×4002;|G|=400(N),则该学生的体重(单位:kg)约为40=40×1.732≈69(kg).
5.ABC 由+++=0知,+=-(+).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知+=0,O是EF的中点.同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点.所以O是EF,MN的交点.
6.BCD 由题意知E为AB中点,则CE⊥AB,
以E为原点,,分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:
所以,E(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(0,),D(,),
设O(0,y),y∈(0,),故=(1,y),=(-,y-),因为∥,所以y-=-y,解得y=,
即O是CE中点,+=0,所以选项B正确;
===,所以选项C正确;
因为CE⊥AB,·=0,所以选项A错误;
=(,),=(1,),在方向上的投影向量为==,所以选项D正确.
7.解析：由题意得,W=F·s=(-1,-2)·(3,4)=-11.
答案:-11
8.解析：如图所示,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直,又==1,==2,∠ADC=90°,所以∠CAD=30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.
答案:120°
9.解析：以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,),C(3,),
D(3,0),=(3,),
设=λ,则E的坐标为,
故=.
因为BE⊥AC,所以·=0,
即9λ+3λ-3=0,
解得λ=,所以E,
故=,||=,
即ED=.
10.证明：如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
设A,C,则D,=.
设=λ,则=+=+=.
又因为=,⊥,所以·=0,
所以-2λ+2=0,解得λ=,所以=.所以=-=.
又因为=,所以cos∠ADB==,cos∠FDC==.
又因为∠ADB,∠FDC∈,所以∠ADB=∠FDC.
素养提升
1.D 由点A,B,C,可得=,=,
则·=-4<0,所以C是钝角.
2.A 因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=
4×=4,
则||=2,所以AD=2.
3.解析：设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向夹角为θ,则cos θ=,所以=.因为θ增大,所以cos θ减小,所以增大.因为sin θ增大,所以船的浮力减小.
答案:①③
4.解析：建立如图所示的平面直角坐标系,
因为∠BAD为锐角,且sin∠BAD=,则cos∠BAD=,
则sin∠BAD==,即yD=2,又cos∠BAD==,即xD=1,
所以D,可知A,B,C,
设P,1≤m≤5,所以·=·=m2-4m+4=,
当m=2时,·取得最小值为0,此时P,
若·≥·恒成立,则P0,所以=1.
答案:1
5.解析：以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).
又=(4,4),
故F·=(2-2)×4+(2+4)×4
=4×6=24.
合力F所做的功为24 J.
6.证明：因为O,E,D三点共线,
所以向量与向量共线.
则存在实数λ1,使得=λ1.
而=+=+,
则=λ1+.
又因为A,E,B三点共线,
所以与共线,
则存在实数λ2,使=λ2=λ2(-).
所以=λ2-λ2.而+=,
所以+λ2-λ2=λ1+.
即(1-λ2)+λ2=λ1+.
因为与不共线,
所以
所以λ2=.
所以=,即BE=BA.
