8.5.2 直线与平面平行
基础知识
1.平面外 平行
2.不一定,该直线可能在平面内.
3.交线
4.不一定,可能是异面直线.
基础巩固
1.C 条件即为线面平行的性质定理,所以a∥b,又a与α无公共点,所以α内与b相交的直线与a异面.
2.A 因为AE∶EB=CF∶FB=2∶5,
所以EF∥AC.
又EF 平面DEF,AC 平面DEF,
所以AC∥平面DEF.
3.C a∥α,在平面α内,n条相交直线中与直线a平行的直线可能有1条,也可能没有.
4.A 由长方体性质,知EF∥AB.
因为AB 平面ABCD,EF 平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD.
因为EF 平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,所以EF∥GH.
又因为EF∥AB,所以GH∥AB.
5.ABC 对于A,由于O为BD的中点,M为PB的中点,则OM∥PD,故正确;
对于B,由于OM∥PD,OM 平面PCD,PD 平面PCD,则OM∥平面PCD,故正确;
对于C,由于OM∥PD,OM 平面PAD,PD 平面PAD,则OM∥平面PAD,故正确;
对于D,由于M∈平面PAB,故错误.
6.ABD A可能有a α;B还可能a,b异面;C正确;D a与b的关系不确定,可能平行,相交或异面.
7.解析：观察图形,根据直线与平面平行的判定定理可知与BC1平行的平面是平面ADD1A1;由于平面A1B1C1D1与平面ABB1A1的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是CD.
答案:平面ADD1A1 CD
8.解析：若m∥n,m∥α,则n∥α.
同样,若m∥n,n∥α,则m∥α.
答案:①② ③(或①③ ②)
9.证明：如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB.
因为OFB1C1,BEB1C1,所以OFBE.
所以四边形OFEB是平行四边形.所以EF∥BO.
因为EF 平面BDD1B1,BO 平面BDD1B1,
所以EF∥平面BDD1B1.
10.解析：直线l∥平面PAC,证明如下:
因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.
又EF 平面ABC,且AC 平面ABC,
所以EF∥平面ABC.而EF 平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,
所以EF∥l.
因为l 平面PAC,EF 平面PAC,
所以l∥平面PAC.
素养提升
1.A 如图,连接AD1,AB1,
因为PQ∥平面AA1B1B,
平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,PQ 平面AB1D1,所以PQ∥AB1,
所以PQ=AB1==.
2.D 设直线l外两点为A,B,若直线AB∥l,则过A,B可作无数个平面与l平行;若直线AB与l异面,则只能作一个平面与l平行;若直线AB与l相交,则过A,B没有平面与l平行.
3.解析：由题意知,当截面平行于侧棱时,所得截面为矩形,当截面与侧棱不平行时,所得截面是梯形,即EF∥HG且EH不平行于FG.
答案:①④
4.解析：由EF∥平面BCC1B1可知,平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1,平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF,所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+6.
答案:4+6
5.证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,
且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,
从而B1C∥A1D.
又A1D 平面A1DFE,B1C 平面A1DFE,于是B1C∥平面A1DFE.又B1C 平面B1CD1,平面A1DFE∩平面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.
6.证明：(1)若M为PD的中点,由BD为圆锥底面的直径,有O为BD的中点,
则在△PBD中有MO∥PB,
又MO 平面MAC,PB 平面MAC,
则有PB∥平面MAC.
(2)若PB∥平面MAC,由PB 平面PBD,平面PBD∩平面MAC=MO,可得PB∥MO,
所以在△PBD中,=,
又O为BD的中点,则有DM=MP,则M为PD的中点.8.5.2 直线与平面平行
基础知识
1.直线与平面平行的判定定理
如果 一条直线与此平面内的一条直线 ,那么该直线与此平面平行.
2.如果一条直线与平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面一定平行吗
3.直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与
平行.
4.一条直线与一个平面平行,该直线与此平面内任意直线平行吗
基础巩固
一、单选题
1.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
2.在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,则直线AC与平面DEF的位置关系是 ( )
A.平行
B.相交
C.直线AC在平面DEF内
D.不能确定
3.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有 ( )
A.0条
B.1条
C.0或1条
D.无数条
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
二、多选题
5.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,下列结论正确的是 ( )
A.OM∥PD
B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA
D.OM∥平面PBA
6.下列说法中错误的是 ( )
A.直线a∥b,b 平面α,则a∥α
B.直线a∥平面α,b 平面α,则a∥b
C.直线a∥b,直线a∥平面α,b 平面α,则b∥平面α
D.直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a∥b
三、填空题
7.
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
与BC1平行的平面是 ;与平面A1B1C1D1和平面ABB1A1都平行的棱是 .
8.已知m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:
①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件,余下的一个为结论,写出你认为正确的一个 .
四、解答题
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求证:EF∥平面BDD1B1.
10.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.
素养提升
一、选择题
1.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为 ( )
A. B. C.1 D.
2.(教材改编题)过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面 ( )
A.不可能作出 B.只能作出一个
C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在
二、填空题
3.用一个截面去截正三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于E,F,G,H,已知A1A>A1C1,则截面的形状可以为 (把你认为可能的结果的序号填在横线上).
①矩形;②菱形;③正方形;④梯形.
4.如图所示的正方体的棱长为4,E,F分别为A1D1,AA1的中点,则过C1,E,F的截面的周长为 .
三、解答题
5.如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.证明:EF∥B1C.
6.如图,P为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AC,BD为圆锥底面的两条直径,M为母线PD上一点,连接MA,MO,MC.
(1)若M为PD的中点,证明:PB∥平面MAC;
(2)若PB∥平面MAC,证明:M为PD的中点.
