9.1.2 分层随机抽样
基础知识
1.简单随机抽样 总样本 层
2.
基础巩固
1.A 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x,x,3x,由题意可得3x-x=12,x=6,所以持“喜欢”态度的有6x=36(人).
2.B A中样本缺少代表性(第1页的字数一般较少);B中抽样保证了随机性原则,样本具有代表性;对于C,城市中学与农村中学的规模往往不同,学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中,这些都会影响数据的代表性;D中总体数量很大,而样本容量太少,不足以体现总体特征.
3.D 采用抽签法从6个班级中抽取两个班级,然后采用分层随机抽样的方法在所选的班级中按男女比例抽取样本,故D项正确.
4.D 因为1 600∶600∶200=8∶3∶1,用分层随机抽样方法从中抽取博士生30人,所以本科生、硕士生抽取的人数分别为30×8=240(人)、3×30=90(人),
则该高校抽取的志愿者总人数为240+90+30=360(人).
5.ACD 由于总体按型号分为三个子总体,所以应采用分层随机抽样抽取,A正确;
设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,
则有解得
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,故C正确;由分层随机抽样的意义可知D也正确.
6.ABD 易知应采用分层随机抽样法抽取,A正确;
由题意可得高一年级的人数为20×50=1 000,高二年级的人数为30×45=1 350,则高一年级应抽取的人数为235×=100,高二年级应抽取的人数为235-100=135,所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人,故B正确;
高二年级学生被抽到的可能性与高一年级学生一样大,故C错误;
该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力,故D正确.
7.解析：分配比例为=,则A类油中抽取的桶数为40×=4,B类油中抽取的桶数为30×=3,C类油中抽取的桶数为20×=2.
答案:4,3,2
8.解析：该样本的平均数为×3+×8=6.
答案:6
9.解析：由题意可知,=70,=60,
且M=320,N=280,
所以样本平均数=+=×70+×60≈65.3(min),故该校高一年级学生每天的平均锻炼时间的估计值为65.3 min.
10.解析：这种做法不妥当.原因:取样比例数过小,很难准确反映总体情况,况且男、女身高差异较大,抽取人数各1名,也不合理.
考虑到本题的情况,可以采用分层随机抽样,抽样比为.男生抽取20×=4(名),女生抽取20×=4(名),各自用抽签法或随机数法抽取组成样本.
(考虑到本题的情况,总体为40,数据不多,可以采用全面调查的方式调查该班的平均身高)
素养提升
1.A 该地区中小学生总人数为3 500+2 000+4 500=10 000(人),则样本量为
10 000×2%=200(人),其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%=20(人).
2.D 由题意可知,该校高中生人数与初中生人数之比为3∶2,则-=24,解得n=120.
3.解析：由题意可得,=,
解得k=6.
经检验,k=6是原分式方程的解.
高一学生有120÷=300(人).
答案:6 300
4.解析：11~12岁回收180份,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则抽样比为.
因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,所以从9~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900(份),
则15~16岁回收问卷份数为:x=900-120-180-240=360(份).
所以在15~16岁学生中抽取的问卷份数为360×=120(份).
答案:120
5.解析：不妨设行政人员有2x人,后勤职工有3x人,根据分层随机抽样等比例抽取的性质,故可得=,解得x=15.
所以后勤职工有3x=45人,行政人员有2x=30人,总人数为135人,所以此机构的总人数、行政人员、后勤职工人数分别为135,30,45.
6.解析：(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的,所以有=,所以x=18,=,所以y=2.
故x=18,y=2.
(2)总体容量和样本容量较小,所以应采用抽签法,过程如下:
第一步,将36人随机编号,号码为1,2,3,…,36;
第二步,将号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签;
第三步,将号签放入一个不透明的容器中,充分搅匀,依次不放回地抽取2个号码,并记录上面的编号;
第四步,把与号码相对应的人抽出,即可得到所要的样本.9.1.2 分层随机抽样
基础知识
1.分层随机抽样
按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行 ,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为 .每一个子总体称为 .
2.样本平均数的计算公式
在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,第1层和第2层样本的平均数分别为和,则样本的平均数
= + = + .
基础巩固
一、单选题
1.某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人,按分层随机抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈,如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度,有1人对户外运动持“不喜欢”态度,有3人对户外运动持“一般”态度,那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为( )
A.36 B.6 C.12 D.18
2.下列调查方案中,抽样方法合适、样本具有代表性的是 ( )
A.用一本书第1页的字数估计全书的字数
B.为调查某校学生对航天科技知识的了解程度,上学期间,在该校门口,每隔2分钟随机调查一位学生
C.在省内选取一所城市中学,一所农村中学,向每个学生发一张卡片,上面印有一些名人的名字,要求每个学生只能在一个名字下面画“√”,以了解全省中学生最崇拜的人物是谁
D.为了调查我国小学生的健康状况,共抽取了100名小学生进行调查
3.某校要了解高一学生的学习规划情况,在高一年级6个班级中任选两个班级,并在所选的班级中按男女比例抽取样本,则应采用的抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样
B.分层随机抽样
C.先用分层随机抽样,再用随机数法
D.先用抽签法,再用分层随机抽样
4.据统计某高校共有本科生1 600人,硕士生600人,博士生200人申请报名做志愿者,现用分层随机抽样方法从中抽取博士生30人,则该高校抽取的志愿者总人数为 ( )
A.300人 B.320人 C.340人 D.360人
二、多选题
5.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则 ( )
A.应采用分层随机抽样抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的
6.某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二,学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层随机抽样法抽取
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.高二年级学生被抽到的可能性比高一年级学生大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
三、填空题
7.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事,某粮油店经营A,B,C三类品牌的食用油,其中A类品牌的食用油40桶,B类品牌的食用油30桶,C类品牌的食用油20桶,为防止“地沟油”,要从中抽取一个容量为9的样本,若用分层抽样抽取,且在各层中按比例分配样本,则在A,B,C三类品牌的食用油中各抽取的桶数分别为 .
8.比例分配的分层随机抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为 .
四、解答题
9.某学校高一年级在校人数为600人,其中男生320人,女生280人,为了解学生每天参与体育锻炼情况,按分层随机抽样的方法抽取50名男生每天的锻炼时间为一个样本,其样本平均数为70 min,抽取50名女生每天的锻炼时间为一个样本,其样本平均数为60 min,求该校高一年级学生每天的平均锻炼时间的估计值.
10.某班有20名男生,20名女生,已知男女身高有明显不同,现欲调查平均身高,准备抽取,采用比例分配分层随机抽样方法,抽取男生1名,女生1名,你认为这种做法是否妥当 如果让你来调查,你准备怎样做
素养提升
一、选择题
1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本量和抽取的高中生近视人数分别为 ( )
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10
2.某中学有高中生3 600人,初中生2 400人,为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则n= ( )
A.48 B.72 C.60 D.120
二、填空题
3.某校为了解学生的身体素质情况,采用按年级分层随机抽样的方法,从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查,已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4,抽取的样本中高一学生为120人,则k的值为 ,高一学生共有 人.
4.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从9~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为 .
三.解答题
5.某科研机构由科技人员、行政人员和后勤职工3种不同类型的人员组成,现要抽取1个容量为45的样本进行调查.已知科技人员共有60人,抽入样本的有20人,且行政人员与后勤职工的人数之比为2∶3,那么此机构的总人数、行政人员、后勤职工人数分别为多少
6.为了对某课题进行讨论研究,用分层抽样的方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校 相关人数 抽取人数
A x 1
B 36 y
C 54 3
(1)求x,y;
(2)若从高校B相关人员中选2人作专题发言,应采用什么抽样法 请写出合理的抽样过程.
