第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
基础知识
1.不放回简单随机抽样
2.(1)① Yi ②fiYi
(2) yi
3.当总体中个体较多时,总体均值不易计算,样本均值比较方便计算.总体均值是一个确定的数,样本均值具有随机性.
基础巩固
1.B ①不是逐个抽取,③不是等可能抽取,故不是简单随机抽样,②④是简单随机抽样.
2.A 简单随机抽样中每个个体每次被抽取的机会均等,都为.
3.D 由抽样调查的意义可以知道该校女生的平均身高约为148.3 cm.
4.B 从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字,删除超出范围及重复的编号,符合条件的编号有14,05,11,09,
所以选出来的第4个个体的编号为09.
【名师点睛】读取时要连续读取2个数字,并且超出范围及重复的要删去.
5.AD 用随机数法抽样时,编号的位数可以相同(随机数表),也可以不同(临时生成随机数),但不能是负数,编号与个体数量相同.
6.ABC 从N个总体中抽取n个个体作为样本,样本量为n,每个个体被抽到的概率为,所以A,B都是正确的,因为样本的合格率为1-=,所以用样本估计总体,这批产品的合格率约为,所以C正确,D错误.
7.【解题指南】按顺序依次选出8位同学的号码,注意大于60的号码要剔去,重复的号码只选一次.
解析：如题图所示,抽取的8位同学的号码依次为7,4,1,15,2,3,5,14.
答案:7,4,1,15,2,3,5,14
8.解析：=30.
答案:30
9.解析：第一步:将20架钢琴编号,号码是01,02,…,20;
第二步:将号码分别写在一张纸条上,揉成团,制成号签;
第三步:将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀;
第四步:从袋子中逐个不放回地抽取5个号签,并记录上面的编号;
第五步:所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象.
10.解析：=×(9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8)=9.11,
=×(9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1)=9.14,
因为>,所以乙的水平较高.
素养提升
1.C 由简单随机抽样的定义,知每个个体被抽到的可能性相等,故高一(5)班和高一(6)班被抽到的可能性均为.
2.C 根据米255粒内夹谷29粒,则频率为,则这批米内夹谷为
2 020×≈230(石).
3.解析：设参加游戏的小孩有x人,则=,x=.
答案:
4.解析：由抽样调查的意义可以知道,增加样本量可以提高估计效果,所以乙班同学的调查结果能更好地反映总体,由表可知,该项指标约为120.
答案:乙 120
5.解析：(1)总体中个体数较大,用随机数表法.
第一步,给元件编号为001,002,003,…,099,100,…,600;
第二步,用随机数工具产生1~600范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的电子元件进入样本;
第三步,依次操作,如果生成的随机数有重复,则剔除并重新产生随机数,直到样本量达到6;
第四步,以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象.
(2)总体中个体数较小,用抽签法.
第一步,将30个篮球,编号为1,2,…,30;
第二步,将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上,揉成小球状,制成号签;
第三步,把号签放入一个不透明的盒子中,充分搅拌;
第四步,从盒子中不放回地逐个抽取3个号签,并记录上面的号码;
第五步,找出和所得号码对应的篮球.
6.解析：(1)×(1×15+2×60+3×65+4×35+5×20+6×5)=×600=3,故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3.
(2)3×365×100=109 500,故全市所有家庭每年丢弃塑料袋约109 500万个.
7.解析：(1)选法一:满足抽签法的特征,是抽签法;
选法二:不是抽签法,抽签法要求所有的号签编号互不相同,而选法二中的39个白球无法相互区分.
(2)这两种选法中每名员工被选中的可能性相等,均为.第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
基础知识
1.简单随机抽样
分为放回简单随机抽样、 ;有抽签法、随机数法两种方法.
2.总体平均数与样本平均数
(1)总体平均数
①一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称= = 为总体均值,又称总体平均数.
②如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式= .
(2)样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称=
= 为样本均值,又称样本平均数.在简单随机抽样中,我们常用样本平均数去估计总体平均数.
3.总体均值与样本均值有何区别
基础巩固
一、单选题
1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为 ( )
①从500个个体中一次性抽取50个作为样本;
②将500个个体编号,把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取50个作为样本;
③某班有55个同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛;
④福利彩票用摇奖机摇奖.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分别是 ( )
A., B., C., D.,
3.从全校200名女生中用随机数法抽取30名调查其身高,得到样本量的平均数为148.3 cm,则可以推测该校女生的平均身高 ( )
A.一定为148.3 cm B.高于148.3 cm
C.低于148.3 cm D.约为148.3 cm
4.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试,先将50个零件进行编号,编号分别为01,02,…,50,从中抽取5个样本,下面提供随机数表的第1行到第2行:
第1行
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
第2行
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据,则得到的第4个样本编号是( )
A.10 B.09 C.05 D.20
二、多选题
5.从10个篮球中任取一个,检查其质量,用随机数法抽取样本,则应编号为 ( )
A.1,2,3,…,10
B.-1,-2,-3,…,-10
C.0,1,2,3,…,10
D.0,1,2,…,9
6.从1 200件零件中用简单随机抽样方法抽取20件进行检验,其中有1件是不合格品,则( )
A.样本量为20
B.每个零件被抽入样本的概率为
C.产品的合格率约为
D.产品的合格率约为
三、填空题
7.要从60位同学中抽取8位同学调查其期末考试的数学成绩,如图是电子表格软件生成的部分随机数,若从第一个数开始抽取,则抽取的8位同学的编号依次为 .
8.为了考察某地2022年6月每天的最高气温,随机抽取了5天,所得数据为29,29,31,30,31,则该地2022年6月每天的最高气温平均值约为 .
四、解答题
9.从20架钢琴中抽取5架进行质量检查,请用抽签法确定这5架钢琴.
10.某次运动会甲、乙两名射击运动员的成绩(环数)如下:
甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8;
乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1.
求两个样本数据的平均数,估计哪位运动员水平较高.
素养提升
一、选择题
1.某校高一共有10个班,编号为01,02,…,10,现用抽签法从中抽取3个班进行调查,设高一(5)班被抽到的可能性为a,高一(6)班被抽到的可能性为b,则 ( )
A.a=,b= B.a=,b=
C.a=,b= D.a=,b=
2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2 020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得255粒内夹谷29粒,则这批米内夹谷约为 ( )
A.222石 B.220石
C.230石 D.232石
二、填空题
3.从一群游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为 .
4.为了调查某市城区某小河流的水体污染状况,就某个指标,某学校甲班的同学抽取了样本量为50的5个样本,乙班的同学抽取了样本量为100的5个样本,得到如下数据:
样本 抽样序号
1 2 3 4 5
样本量为50的样本 123.1 120.2 125.4 119.1 123.6
样本量为100的样本 119.8 120.1 121.0 120.3 120.2
据此可以认定 班的同学调查结果能够更好地反映总体,这两个班的同学调查的该项指标约为 (答案不唯一,只要合理即可).
三、解答题
5.选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程.
(1)现有一批电子元件600个,从中抽取6个进行质量检测;
(2)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样.
6.某些商家为消费者提供免费塑料袋,使购物消费更加方便快捷,但是我们更应关注它对环境的潜在危害.为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况,统计人员采用了科学的方法,随机抽取了200户,对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计,结果如表:
每户丢弃塑 料袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数/户 15 60 65 35 20 5
(1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数;
(2)假设某市现有家庭100万户,据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的总数.
7.某单位拟从40名员工中选1人赠送电影票,可采用下面两种选法:
选法一:将这40名员工按1~40进行编号,并相应地制作号码为1~40的40个号签,把这40个号签放在一个不透明的箱中搅匀,最后随机地从中抽取1个号签,与这个号签编号一致的员工幸运入选;
选法二:将39个白球与1个红球(球除颜色外,其他完全相同)混合放在一个不透明的箱中搅匀,让40名员工逐一从中摸取一个球,则摸到红球的员工幸运入选.试问:
(1)这两种选法是否都是抽签法,为什么
(2)这两种选法中每名员工被选中的可能性是否相等
