8.6.2 直线与平面垂直(二)
基础知识
1.直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线 .
2.如果两条平行线中的一条与一个平面垂直,那么另一条直线与这个平面是什么位置关系
3.空间距离
(1)直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离.
(2)平面与平面之间的距离
如果两个平面互相平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都 .
4.是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)若直线l与平面α不垂直,m α,那么l与m的位置关系是 ( )
A.垂直 B.平行
C.异面或相交 D.以上都有可能
2.
如图所示,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是( )
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AC=AA1,D,E,F分别是所在棱的中点;现有3个图形如图所示.则满足CF⊥DE的图形个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
5.已知a,b,c为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题,其中不正确的有( )
A.a⊥α,b∥β,且α∥β a⊥b
B.a⊥b,a⊥α b∥α
C.a⊥α,b⊥α,a∥c b∥c
D.a⊥α,β⊥α a∥β
三、填空题
6.在同一水平面上有相距a米的两旗杆,它们的高度分别是b米和c米(b>c),则它们顶端的距离为 .
7.如图所示,PA⊥平面ABC,M,N分别为PC,AB的中点,使得MN⊥AC的一个条件为 .
四、解答题
8.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB.求证:a∥l.
9.如图所示,ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.
求证:AE⊥SB.
素养提升
一、选择题
1.如图,已知点A∈平面α,点O∈平面α,直线a α,点P α且PO⊥α,则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.三棱锥的三条侧棱两两相等,则顶点在底面的射影为底面三角形的 ( )
A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心
二、填空题
3.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为 .
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件 时,有AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).
三、解答题
5.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1= .
证明:A1C⊥平面BB1D1D.
6.斜边为AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,如图.
(1)求证:EF⊥PB;
(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.8.6.2 直线与平面垂直(二)
基础知识
1.平行
2.垂直
3.(1)任意一点 (2)相等
4.不是,只有当直线与平面平行,平面与平面平行时才涉及距离问题.
基础巩固
1.D 由线面位置关系判断.
2.B 因为EG⊥平面α,PQ 平面α,
所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ 平面β,
得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,
所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.
3.C 题图(1)中,因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AC=AA1,所以A1B1⊥B1C1,A1B1⊥BB1,
因为B1C1∩BB1=B1,B1C1 平面BC1,BB1 平面BC1,所以A1B1⊥平面BC1,因为D,E,F分别是所在棱的中点,
所以DE⊥平面BC1,因为CF 平面BC1,所以CF⊥DE,
题图(2)中,取A1C1的中点G,连接GE,AG,故四边形AGED为平行四边形,
故ED∥AG,而AC=AA1,故AG⊥CF,故CF⊥DE;
题图(3)中,CF⊥DE不成立.
4.D 过A作AD⊥BC于D,连接PD,
因为AB=AC=5,BC=6,所以BD=DC=3,
又因为PA⊥平面ABC,PA∩AD=A,
所以BC⊥PD,所以点P到BC的距离是PD,
在△ADC中,AC=5,DC=3,
所以AD=4,
在Rt△PAD中,PD====4.
5.BD A正确;B中b α有可能成立,故B不正确;C正确;
D中a β有可能成立,故D不正确.
6.解析：如图,根据题意可知AD=b,BC=c,AB=a,由线面垂直的性质定理可得AD∥BC,过C向AD作垂线,设垂足为点E,则在Rt△CDE中,CE=a,DE=b-c,得CD=.
答案:米
7.解析：取AC中点Q,连接MQ,NQ,
则MQ∥AP,NQ∥BC,
由已知条件易得MQ⊥AC,若AC⊥BC,
则NQ⊥AC,所以AC⊥平面MNQ,所以AC⊥MN.
答案:AC⊥BC(答案不唯一)
8.证明：因为EA⊥α,α∩β=l,即l α,所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β,a β,所以EB⊥a,
又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理,得a∥l.
9.证明：因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB,所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE,所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC,所以AE⊥SB.
素养提升
1.C 由点A∈平面α,点O∈平面α,直线a 平面α,点P α且PO⊥α,直线a⊥直线OA,PO∩OA=O,可知直线a⊥平面POA,PA 平面POA,所以直线a⊥直线PA;直线a⊥直线PA,PA∩PO=P,可知直线a⊥平面POA,OA 平面POA,所以直线a⊥直线OA,所以“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件.
2.C
如图,设点P在平面ABC内的射影为O,连接OA,OB,OC.
因为三棱锥的三条侧棱两两相等,所以PA=PB=PC.
因为PO⊥底面ABC,
所以PO⊥OA,PO⊥OB,
PO⊥OC,
所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,
所以OA=OB=OC,
故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心.
3.解析：因为PC⊥平面ABC,CM 平面ABC,
所以PC⊥CM.
所以PM=.
要使PM最小,只要CM最小,
此时应有CM⊥AB.
因为AB=8,∠ABC=60°,∠ACB=90°.
所以BC=AB=4,AC=4.
所以CM==2.
所以PM==2.
即PM的最小值为2.
答案:2
4.解析：如图所示,连接B1C,由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可,由直三棱柱可知,
只要证AC⊥BC即可.
因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)
答案:∠A1C1B1=90°(答案不唯一)
5.证明：因为A1O⊥平面ABCD,
所以A1O⊥BD.
又底面ABCD是正方形,所以BD⊥AC,
因为AC∩A1O=O,所以BD⊥平面A1OC,
所以BD⊥A1C,又OA1是AC的中垂线,
所以A1A=A1C=,且AC=2,
所以AC2=A+A1C2,
所以△AA1C是直角三角形,所以AA1⊥A1C,
又BB1∥AA1,所以A1C⊥BB1,
因为BB1∩BD=B,所以A1C⊥平面BB1D1D.
6.证明：(1)因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC.又因为△ABC为直角三角形,
所以BC⊥AC,又因为PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC.
又因为AF 平面PAC,所以BC⊥AF.
又AF⊥PC,且PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC,所以AF⊥BP.
又AE⊥PB,且AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF,所以EF⊥PB.
(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,
而l⊥平面AEF,所以PB∥l.
