8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
基础知识
1.平行于同一条直线 2.相等或互补
3.相等
基础巩固
1.C 根据过平面内一点和平面外一点的直线,与平面内不过该点的直线异面,可判定A,B中EF,MN异面;C中直线EF与MN平行;
D中,若EF∥MN,则过EF的平面与底面相交,EF就跟交线平行,则过点N有两条直线与EF平行,不可能.
2.B 易知GH∥MN,又因为E,F,M,N分别为所在棱的中点,易知EF,DC,MN交于一点.
3.C 如图所示,
因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC,又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
4.B 由题意知:直线l与a,b可都相交,也可只与一条相交,故A,C,D错误;
但直线l不会与两条都不相交,
若l与a,b都不相交,因为l与a都在α内,
所以l∥a,同理l∥b,所以a∥b,
这与a,b异面直线矛盾,
故直线l至少与a,b中之一相交.故B正确.
5.BCD 假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,所以l与AD不平行.
6.ABC 由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,
有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;
对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,
知∠QME=∠DBC,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;
由三角形的中位线定理,知MQ BD,NPBD,所以MQNP,
所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.
7.解析：MNAC,又因为ACA'C',所以MNA'C'.
答案:平行
8.解析：由题意知EFAC,GHAC,
故EFGH,故GH=2.
答案:2
9.解析：如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
10.证明：(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,
又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,
所以AM=A1M1且AM∥A1M1,
所以四边形AMM1A1为平行四边形,
所以MM1=AA1且MM1∥AA1.
又AA1=BB1且AA1∥BB1,
所以MM1=BB1且MM1∥BB1,
所以四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
所以B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
所以C1M1∥CM.因为∠BMC和∠B1M1C1方向相同,
所以∠BMC=∠B1M1C1.
素养提升
1.C 如图,连接FH,JG,因为E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点,
所以FH∥PA,GJ∥PA,所以FH∥GJ.
2.D 因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以EFAC,又=,=,
所以=,所以HGAC,
所以EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH为梯形.
3.解析：将正方体的表面展开图还原构造成正方体,
如图所示:
分别取AB,AA1的中点Q,P,连接EP,FQ,PQ,A1B,由正方体的结构特征可得EF∥PQ.又因为点Q,P,H,G分别是AB,AA1,A1B1,BB1的中点,故PQ∥A1B,HG∥A1B,故PQ∥HG.所以EF∥GH.
答案:平行
4.解析：如图所示,因为点E,E'分别是AD,A'D'的中点,所以AE∥A'E',且AE=A'E'.所以四边形AEE'A'是平行四边形.
所以AA'∥EE',且AA'=EE'.
又因为AA'∥BB',且AA'=BB'.
所以EE'∥BB',且EE'=BB'.
所以四边形BB'E'E是平行四边形.
所以BE∥B'E',同理可证CE∥C'E'.
又因为∠BEC与∠B'E'C'的两边方向相同,
所以∠BEC=∠B'E'C'.
答案:相等
5.证明：(1)连接BD,B1D1,图略.在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,同理E1F1∥B1D1,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为AA1DD1,AA1BB1,所以B1BDD1,
所以四边形BDD1B1是平行四边形,
所以BD∥B1D1,所以EF∥E1F1.
(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,图略.
因为MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,
所以四边形BCF1M是平行四边形,
所以MBCF1,因为A1MEB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,
同理可证:A1F∥E1C,
又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反,
所以∠EA1F=∠E1CF1.
6.解析：(1)AA'∩BB'=O,且==,
所以A'B'∥AB,同理,A'C'∥AC,B'C'∥BC.
(2)因为A'B'∥AB,A'C'∥AC,且A'B'和AB,A'C'和AC方向相反,
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理,∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B',
所以△ABC∽△A'B'C',==,
所以==.8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
基础知识
1.基本事实4
的两条直线平行.
2.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .
3.如果空间中两条相交直线与另外两条直线分别平行,那么两组直线所形成的锐角(或直角)什么关系
基础巩固
一、单选题
1.下列四面体中,直线EF与MN平行的是( )
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.直线GH和MN平行,GH和EF相交
B.直线GH和MN平行,MN和EF相交
C.直线GH和MN相交,MN和EF异面
D.直线GH和EF异面,MN和EF异面
3.在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
4.若异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=l,则直线l ( )
A.与直线a,b都相交
B.至少与a,b中的一条相交
C.至多与a,b中的一条相交
D.与a,b中的一条相交,另一条平行
二、多选题
5.(教材改编题)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),l 平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列可能成立的是( )
A.l与AD平行 B.l与AD不平行
C.l与AC平行 D.l与BD垂直
6.如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是 ( )
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
三、填空题
7.已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A'C'的位置关系是 .
8.在四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH= .
四、解答题
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画 请说明理由.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.
素养提升
一、选择题
1.如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.PH∥BG B.IE∥CP
C.FH∥GJ D.GI∥JH
2.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,G,H分别在边CD,DA上,且满足CG=GD,DH=2HA,则四边形EFGH为 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
二、填空题
3.如图是正方体的表面展开图,E,F,G,H分别是棱的中点,则EF与GH在原正方体中的位置关系为 .
4.已知点E,E'分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱AD,A'D'的中点,则∠BEC与∠B'E'C' .(填相等或互补)
三、解答题
5.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,
求证:(1)EF∥E1F1;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
6.如图,△ABC和△A' B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且 .
(1)求证:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;
(2)求 的值.
