10.1.2 事件的关系和运算
基础知识
1.互斥事件
事件A与事件B .
2.对立事件
事件A和事件B在任何一次试验中 .事件A的对立事件记为.
3.互斥事件与对立事件有什么关系
4.并事件
事件A与事件B ,也称这个事件为事件A与事件B的和事件.
5.交事件
事件A与事件B ,也称这样一个事件为事件A与事件B的积事件.
基础巩固
一、单选题
1.(教材改编题)奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色” ( )
A.是对立事件
B.互斥且对立
C.互斥但不对立
D.不是互斥事件
2.下列各组事件中不是互斥事件的是 ( )
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
3.设H,E,F为三个事件,,,分别表示它们的对立事件,表示“H,E,F三个事件恰有一个发生”的表达式为 ( )
A.H+E+F
B.H +E+ F
C.HE+HF+EF
D.++
4.已知盒中有5个红球,3个白球,从盒中任取2个球,下列说法中正确的是 ( )
A.全是白球与全是红球是对立事件
B.没有白球与至少有一个白球是对立事件
C.只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D.全是红球与有一个红球是包含关系
二、多选题
5.从刚生产的一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},则下列结论正确的
是( )
A.A与B互斥 B.A与C互斥
C.A与B对立 D.B与C对立
6.一个人连续射击2次,则下列各事件关系中,说法正确的是 ( )
A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D.事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
三、填空题
7.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,“甲夺得冠军”为事件A,“乙夺得冠军”为事件B,那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为 .
8.依次投掷两枚硬币的试验中,设事件A={(正面,反面)},事件B={(正面,正面),(反面,正面)},则事件A与事件B的关系是 .
四、解答题
9.设某人向一个目标射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
(1)A1∩A2;
(2)A1∩A2∩;
(3)A1∪A2.
10.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
素养提升
一、选择题
1.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,从等级为甲、乙、丙的三件产品中任取一件,抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A,B,C,则抽取一件抽得次品为 ( )
A.A B.B∩C C. D.
2.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ( )
A.一个是5点,另一个是6点
B.一个是5点,另一个是4点
C.至少有一个是5点或6点
D.至多有一个是5点或6点
二、填空题
3.掷一枚质地均匀的骰子,记A为事件“落地时向上的数是奇数”,B为事件“落地时向上的数是偶数”,C为事件“落地时向上的数是3的倍数”.其中是互斥事件的是 ,是对立事件的是 .
4.抛掷红蓝两枚骰子,记“红色骰子出现3点”为事件A,“蓝色骰子出现4点”为事件B,事件A与事件AB 互斥事件.(填“是”或“不是”)
三、解答题
5.某班要进行一次辩论比赛,现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组,每组3人.考虑甲组的人员组成情况,记事件Ak=“甲组有k名女生”.
(1)事件A1含有多少个样本点
(2)若事件B=“甲组至少有一名女生”,则事件B与事件Ak有怎样的运算关系
(3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系
6.盒子里有大小和质地均相同的6个红球和4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
(1)事件D与A,B是什么运算关系
(2)事件C与A的交事件是什么事件 10.1.2 事件的关系和运算
基础知识
1.不能同时发生
2.有且仅有一个发生
3.对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.
4.至少有一个发生
5.同时发生
基础巩固
1.C 甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,所以这两个事件不是对立事件.
2.B 对于A,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6,不可能同时发生,故A中两事件为互斥事件;对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件;对于C,播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒,不可能同时发生,故C中两事件为互斥事件;对于D,检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%,不可能同时发生,故D中两事件为互斥事件.
3.B 选项A表示H,E,F三个事件至少有一个发生;
选项B表示三个事件恰有一个发生;
选项C表示三个事件恰有一个不发生;
选项D表示H,E,F三个事件至少有一个不发生.
4.B 从盒中任取2球,出现球的颜色情况是,全是红球,有一个红球且有一个白球,全是白球,至少有一个的对立面是没有一个.故选B.
5.AD A={3件产品全不是次品},指的是3件产品全是正品,B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},它包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3个事件,由此知:A与B是互斥事件,但不对立;A与C的交事件不是 ,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.
6.BD 对于A,事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”,所以不是对立事件,A错误;对于B,事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”,与事件“两次均击中”是互斥事件,B正确;对于C,事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”,所以与事件“第二次击中”不是互斥事件,C错误;对于D,事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”,D正确.
7.解析：因为“甲夺得冠军”为事件A,“乙夺得冠军”为事件B.由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”,因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A∪B或(A+B).
答案:A∪B或(A+B)
8.解析：A∩B= ,A∪B≠Ω,所以事件A与事件B是互斥事件,但不是对立事件.
答案:互斥但不对立
9.解析：(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
(2)A1∩A2∩表示第1次和第2次射击都击中目标,而第3次没有击中目标.
(3)A1∪A2表示第1次击中目标或第2次击中目标.
10.解析：(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
素养提升
1.D 事件A为抽到一件正品,故A错误.
事件B∩C为同时抽到乙、丙,不满足题意,故B错误.
事件为抽到甲或乙,故C错误.
事件为抽取甲级产品的反面,即抽到次品.
2.C 设两枚骰子分别为甲、乙,则其点数的可能值包括以下四种可能:甲是5点且乙是6点,甲是5点且乙不是6点,甲不是5点且乙是6点,甲不是5点且乙不是6点,事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况,故其对立事件是前三种情况.
【误区警示】解答本题容易忽视根据两个骰子是否为5点或6点对所有可能出现的结果进行分析,导致错误.
3.解析：A,B既是互斥事件,也是对立事件.
答案:A,B A,B
4.解析：由题意得,事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)},事件B={(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4)}.
事件AB={(3,4)},所以A∩(AB)={(3,4)}≠ ,所以事件A与事件AB不是互斥事件.
答案:不是
5.解析：(1)用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因为事件A1=“甲组有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共含12个样本点.
(2)事件B=“甲组至少有一名女生”,其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生,所以B=A1∪A2.
(3)因为A2与A0∪A1是对立事件,所以=A0∪A1,所以∪A0=A0∪A1,所以事件A2与事件∪A0是对立事件.
6.解析：设“从10个球中任取3个球,得到i个红球”为事件Ai(i=0,1,2,3).
(1)由题意得,事件A={3个球中有1个红球,2个白球}=A1,事件B={3个球中有2个红球,1个白球}=A2,事件D={3个球中既有红球又有白球}=A1∪A2,由此可得D=A∪B.
(2)事件C={3个球中至少有1个红球}=A1∪A2∪A3,事件A={3个球中有1个红球,2个白球}=A1,所以C∩A=A.
