10.1.3 古典概型
基础知识
1.概率
对随机事件发生 的度量(数值),事件A的概率用 表示.
2.古典概型的特征
(1)样本空间的样本点只有 ;
(2)每个样本点发生的可能性 .
3.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个,则该试验是古典概型吗
4.概率公式
若试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数,则事件A的概率:P(A)= = .
基础巩固
一、单选题
1.下列是古典概型的是 ( )
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
2.从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素,则这两个元素相差2的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.甲、乙去同一家药店各购一种医用外科口罩,已知这家药店出售A,B,C三种医用外科口罩,则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
4.在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A,B发生的概率相等,则称A和B是“等概率事件”,如:随机抛掷一个骰子一次,事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”,以下判断正确的是 ( )
A.在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”
B.若一个古典概型的事件总数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”
C.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D.同时抛掷三枚硬币一次,则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,记事件“选中的2人都是女同学”的概率为P1;事件“选中的2人都是男同学”的概率为P2;事件“选中1名男同学1名女同学”的概率为P3.则下列选项正确的是 ( )
A.P1+P2=P3 B.2P1=P3
C.P1>2P2 D.=P2P3
三、填空题
6.某校有A,B两个学生食堂,若a,b,c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则事件A=“三人在同一个食堂用餐”包含的样本点个数为 .
四、解答题
7.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.若事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.
8.某涉外公司经理计划从3个亚洲国家分公司A1,A2,A3和3个欧洲国家分公司B1,B2,B3中选择2个公司去调研.
(1)若从这6个分公司中任选2个,求这2个公司都在亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家分公司和欧洲国家分公司中各任选1个,求这2个公司包括A1但不包括B1的概率.
9.新高考数学试题中有多项选择题,要求为:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.”已知某多项选择题的正确答案是BCD.
(1)若甲同学不会做该题,但他想猜对得5分,就随机填写了一个答案,求他得5分的概率.
(2)若乙同学也不会做该题,他只想得2分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得2分的概率.
素养提升
一、选择题
1.安排甲,乙,丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生,每个教室恰好安排一位志愿者,则甲恰好不安排到3号教室的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数.素数对(p,p+2)称为孪生素数.从15以内的素数中任取2个构成素数对,其中是孪生素数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
3.一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.若某人从中任选2道题,每一次选1题(不放回),则所选的题不是同一种题型的概率为 ,若从中任选2道题,每一次选1题(有放回),则所选的题不是同一种题型的概率为 .
4.设集合P={x,1},Q={y,1,2},P Q,x,y∈{1,2,3,…,9}.在直角坐标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对(x,y)所表示的点中任取一个,其落在圆x2+y2=r2内的概率恰为,则r2的一个可能整数值是 (只需要写出一个即可).
三、解答题
5.一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,今随机地抽取两个小球,
如果:(1)小球是不放回的;
(2)小球是有放回的.
求两个小球上的数字为相邻整数的概率.
6.田忌和齐王赛马是历史上有名的故事,设齐王的三匹马分别为A,B,C,田忌的三匹马分别为a,b,c;三匹马各比赛一次,胜两场者获胜.若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示:A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下,求田忌获胜的概率;
(2)为了得到更大的获胜机会,田忌预先派出探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出上等马A,于是田忌采用了最恰当的应对策略,求这时田忌获胜的概率.10.1.3 古典概型
基础知识
1.可能性大小 P(A)
2.(1)有限个 (2)相等
3.不一定是,还要看每个样本点发生的可能性是否相同,若相同才是,否则不是.
4.
基础巩固
1.C A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的样本空间是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中样本空间不是有限个,各个样本点的发生也不具有等可能性,故D不是.
2.B 从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种,其中满足两个元素相差2的取法有(2,4),(4,6),(6,8)共3种.故这两个元素相差2的概率为.
3.A 甲、乙在A,B,C三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有(B,A),(B,B),(B,C),(A,A),(A,B),(A,C),(C,A),(C,B),(C,C)共9种,
其中甲,乙购买的是同一种医用外科口罩的基本事件有(A,A),(B,B)(C,C)共3种,则其概率为P==.
【误区警示】求解时没有考虑顺序(A,B),(B,A)是两种不同的取法而致错.
4.AD 对于A,由古典概型的定义知,所有基本事件的概率都相等,故所有基本事件之间都是“等概率事件”,故A正确;对于B,如在1,3,5,7,9五个数中,任取两个数,所得和为8和10这两个事件发生的概率相等,故B错误;对于C,由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的,故C不正确;对于D,同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果,其中“仅有一个正面”包含3种结果,其概率为,“仅有两个正面”包含3种结果,其概率为,故这两个事件是“等概率事件”,故D正确.
5.BC 将2名男同学分别记为x,y,3名女同学分别记为a,b,c,则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c)共10种,则P1=,P2=,P3==,因此2P1=P3,P1>2P2,P1+P2≠P3,≠P2P3.
6.解析：a,b,c三名学生选择食堂的结果有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(A,B,B),(B,A,A),(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B)共8个,三人在同一食堂用餐的结果有:(A,A,A),(B,B,B),共2个.
答案:2
7.解析：(1)由题意可知:=,解得n=2.
(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω= {(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21)},共12个,事件A包含的样本点为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个.
所以P(A)==.
答案:(1)2 (2)
8.解析：(1)由题意知,从6个公司中任选2个,其一切可能的结果组成的样本点有:
{(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共15个.
所选2个公司都在亚洲国家的事件所包含的样本点有:{(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3个,
则所求事件的概率为P==.
(2)从亚洲国家分公司和欧洲国家分公司中各任选1个,其一切可能的结果组成的样本点有:
{(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有:{(A1,B2),(A1,B3)},共2个,则所求事件的概率为P=.
9.解析：(1)该事件的样本空间Ω={(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),
(ABCD)},共11个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.用A表示“甲同学得5分”,则A={(BCD)},含有1个样本点,所以P(A)=.
(2)该事件的样本空间Ω={(A),(B),(C),(D)},共4个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.
用B表示“乙同学得2分”,则B={(B),(C),(D)},含有3个样本点,所以P(B)=.
素养提升
1.A 甲,乙,丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室,每个教室恰好安排一位志愿者,则有
(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);
(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1);
(甲,3),(乙,1),(丙,2);(甲,3),(乙,2),(丙,1),共6种,其中甲恰好不安排到3号教室:
(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);
(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1),共4种,所以甲恰好不安排到3号教室的概率为P==.
2.C 15以内的素数有2,3,5,7,11,13,共6个,任取2个构成素数对,则有:(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13),共15种取法,是孪生素数的有(3,5),(5,7),(11,13),其概率P==.
3.解析：将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则所有样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件A为“所选的题不是同一种题型”,则事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12种,所以P(A)==0.6.
从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件B为“所选的题不是同一种题型”,故所选题不是同一种题型的样本点共12种,所以P(B)==0.48.
答案:0.6 0.48
4.解析：满足条件的点有(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),共14个.欲使其落在x2+y2=r2内的概率为,则这14个点中有4个点在圆内,所以只需29答案:30(或31或32)
5.解析：设事件A:两个小球上的数字为相邻整数.则事件A包括的基本事件有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(10,9),(9,8),(8,7),(7,6),(6,5),
(5,4),(4,3),(3,2),(2,1)共18个.
(1)不放回取球时,总的基本事件数为90,故P(A)==.
(2)有放回取球时,总的基本事件数为100,故P(A)==.
6.解析：(1)比赛配对的基本事件共有6个,它们是:(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca).经分析:仅有配对为(Ac,Ba,Cb)时,田忌获胜,且获胜的概率为.
(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛,基本事件有2个:(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca),配对为(Ac,Ba,Cb)时,田忌获胜,则获胜的概率为.
