10.3.2 随机模拟
基础知识
1.随机数的概念
要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数,把n个 相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放入一个容器中, 后取出一个球,这个球上的数就称为随机数.
2.随机模拟方法
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的
来估计 ,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
3.用计算机模拟试验来代替大量的重复试验有什么优点
基础巩固
一、单选题
1.用随机模拟方法得到的频率 ( )
A.大于概率
B.小于概率
C.等于概率
D.是概率的近似值
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出两个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.下列关于随机数的说法,正确的是 ( )
A.计算器只能产生(0,1)之间的随机数
B.计算机不能产生指定两个整数之间的取整数值的随机数
C.计算器或计算机产生的随机数是完全等可能的
D.计算器或计算机产生的随机数是伪随机数
4.每道选择题有四个选项,其中只有一个选项是正确的.某次数学考试共有12道选择题,有位同学说:“每个选项正确的概率是,我每道题都选择第一个选项,则一定有3道题选择结果正确.”该同学的说法 ( )
A.正确 B.错误
C.无法解释 D.以上均不正确
二、多选题
5.下列说法中,正确的是 ( )
A.频率反映随机事件的频繁程度,概率反映随机事件发生的可能性大小
B.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
C.做n次随机试验,事件发生m次,则事件发生的频率就是事件的概率
D.频率是概率的近似值,而概率是频率的稳定值
三、填空题
6.在用随机(整数)模拟“有4个男生和5个女生,从中选4个,求选出2个男生2个女生的概率”时,可让计算机产生1~9的随机整数,并用1~4代表男生,用5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是 .
7.袋子中有四个小球,分别写有“中、华、民、族”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率,利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“中、华、民、族”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 230 023 123 021 132
220 001 231 130 133 231 031
320 122 103 233
由此可以估计,恰好抽取三次就停止的概率为 .
四、解答题
8.某校高一年级共20个班,1 200名学生,期中考试时如何把学生分配到40个考场中去
9.甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个,乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个,从两个盒子中各取1个球.
(1)求取出的两个球是不同颜色的概率;
(2)请设计一种随机模拟的方法,来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤).
素养提升
一、选择题
1.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率;先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
2.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
3.抛掷两枚均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计朝上面的点数的和是6的倍数的概率时,用1,2,3,4,5,6分别表示朝上面的点数是1,2,3,4,5,6.用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个,每组第i个数组成一组,共组成60组数,其中有一组是16,这组数表示的结果是否满足朝上面的点数的和是6的倍数:
(填“是”或“否”),满足朝上面的点数的和是6的倍数的概率为 .
4.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计,该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 .
三、解答题
5.一个袋中有7个大小和质地相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取.试设计一个模拟试验估计恰好第三次摸到红球的概率.
6.某篮球爱好者做投篮练习,如果他每次投篮投中的概率都是0.6,那么在连续三次投篮中,他三次都投中的概率是多少 试设计一个模拟试验估计他三次都投中的概率.10.3.2 随机模拟
基础知识
1.质地和大小 充分搅拌
2.频率 概率
3.用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法真正进行.因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法,它可以在短时间内多次重复地来做试验.
基础巩固
1.D 因为实验数据越多频率就越接近概率,所以用随机模拟方法得到的频率,数据是有限的,接近概率.
2.A 随机取出两个小球有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种情况,和为3只有1种情况(1,2),和为6可以是(1,5),(2,4),共2种情况,所以P=.
3.D A项,计算器也可以产生a~b上的整数随机数;
B项,计算机能产生指定两个整数之间的取整数值的随机数;
C项,计算器或计算机产生的随机数是伪随机数,不能保证等可能.
4.B 解每一道选择题都可看成一次试验,每次试验的结果都是随机的,经过大量的试验其结果呈现出一定的规律,即随机选取一个选项选择正确的概率是.12道选择题做对3道题的可能性比较大,但并不能保证一定做对3道题,也有可能都选错,因此该同学的说法错误.
5.ABD 频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值,随某事件出现的次数而变化,概率指的是某一事件发生的可能程度,是个确定的理论值.
6.解析：用1~4代表男生,用5~9代表女生,4 678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生
7.解析：由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031,共4组随机数,恰好抽取三次就停止的概率约为=.
答案:
8.解析：要把1 200人分到40个考场,每个考场30人,可用计算机完成.
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机.
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同).
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列,可得到1 200名学生的考试号0001,0002,…,1200,然后0001~0030为第一考场,0031~0060为第二考场,依次类推.
9.解析：(1)设A表示“取出的两个球是相同颜色”,B表示“取出的两个球是不同颜色”,则事件A的概率为:P(A)=×+×=.由于事件A与事件B是对立事件,所以事件B的概率为P(B)=1-P(A)=1-=.
(2)随机模拟的步骤:第1步:利用抽签法或计算机(计算器)产生1~3和2~4两组取整数值的随机数,每组各有N个随机数.用“1”表示取到红球,用“2”表示取到黑球,用“3”表示取到白球,用“4”表示取到黄球.第2步:统计两组对应的N对随机数中,每对中的两个数字不同的对数n.第3步:计算的值.则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值.
素养提升
1.A 由10组随机数知,3个随机数都在4~9中的有569,989两组,故所求的概率为P==0.2.
2.B 用计算器产生1到5之间的随机整数,用1~5分别代表A~E 5个字母.利用随机模拟试验产生N组随机数,每2个数一组,从中数出两个数按从小到大的顺序相邻的随机数个数N1,可得≈.
【一题多解】本题还可用以下方法求解:从A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种结果,其中2张卡片上字母恰好按字母顺序相邻的有AB,BC,CD,DE共4种结果,
所以P==.
3.解析：16表示第1枚骰子向上的点数是1,第二枚骰子向上的点数是6,则朝上面的点数的和是1+6=7,不表示和是6的倍数.该试验共有36种不同结果,事件“点数的和是6的倍数”包含(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)共6种情况,故概率为.
答案:否
4.解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个,
因此所求的概率为=0.5.
答案:
5.解析：用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1~7之间取整数值的随机数,因为要求恰好第三次摸到红球,所以每三个随机数作为一组.例如产生20组随机数:
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375 716 116 614 445 117 573 552 274 124 662
表示第一次、第二次摸到白球,第三次摸到红球的是567和117,共2组,所以恰好第三次摸到红球的概率约为=0.1.
6.解析：通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生0~9之间取整数值的随机数.用1,2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是0.6.因为要投篮三次,所以每三个随机数作为一组.例如产生20组随机数:
812 932 569 683 271 989 730 537 925 834 907 113 966 191 432 256 393 027 556 755
在这组数中,表示三次都投中的分别是113,432,256,556,共有4组,故三次投篮都投中的概率近似为=0.2.
