10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
基础知识
1.频率的稳定性
随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会 ,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 事件A发生的概率P(A),称频率的这个性质为频率的稳定性.因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2.频率与概率的范围都是 .
3.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系
基础巩固
一、单选题
1.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:
满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是 ( )
A.掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
B.同时掷两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜
3.小明同学进行投球练习,连投了10次,恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件,则事件A发生的 ( )
A.概率为 B.频率为
C.频率为8 D.以上均不正确
4.某个地区统计某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表:
项目 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191
男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590
这一地区男婴出生的概率约是 ( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
二、多选题
5.年初,某市教研室对某畅销书进行了5次“读者问卷调查”,结果如下:
调查序号 1 2 3 4 5
被调查人数n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
满意人数m 999 998 1 002 1 002 997
则下列说法正确的是 ( )
A.第5次调查读者满意的频率最高
B.第1,2,3次调查读者满意的频率各不相等
C.读者对此畅销书满意的概率约为99.8%
D.5次调查该市读者对此畅销书满意频率均高于0.99
6.下列说法中正确的有 ( )
A.做9次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的概率是
B.盒子中装有大小和形状相同的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同
C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性不相同
D.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,次品的件数可能不是10件
三、填空题
7.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部一共有 名学生.
8.某中学要在高一年级二班、三班、四班中任选一个班参加社区服务活动,有人提议用如下方法选班:掷两枚硬币,正面向上记作2点,反面向上记作1点,两枚点数和是几,就选几班.按照这个规则,当选概率最大的是 班.
四、解答题
9.历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验,结果如表所示:
抛掷次数 正面向上的次数 正面向上的比例
2 048 1 061 0.518 1
4 040 2 048 0.506 9
12 000 6 019 0.501 6
24 000 12 012 0.500 5
30 000 14 984 0.499 5
72 088 36 124 0.501 1
(1)在上述抛掷硬币的试验中,你会发现怎样的规律
(2)在抛掷硬币试验中,把正面向上的比例称作正面向上的频率,你能给频率下个定义吗
(3)抛掷硬币试验表明,正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性,这个规律性是如何体现出来的
(4)在相同条件下,事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等 事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等
10.在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大,但同一个字母的使用频率相当稳定,有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率,结果如表所示:
元音字母 A E I O U
频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80%
(1)从一本英文书(小说类)里随机选一页,统计在这一页里元音字母出现的频率;
(2)将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较,结果是否比较接近 你认为存在差异的原因是什么.
素养提升
一、选择题
1.若经检验,某厂的产品合格率为98%,估算该厂8 000件产品中的次品件数为 ( )
A.7 840 B.160
C.16 D.784
2.某中学举办电脑知识竞赛,满分为100分,80分以上为优秀(含80分),现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),第三组[70,80),第四组[80,90),第五组[90,100],其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小组的频数是40,则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是 ( )
A.50,0.15 B.50,0.75
C.100,0.15 D.100,0.75
二、填空题
3.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量如下(单位:g):125,120,122,105,130,114,116,95,120,134.从这一堆苹果中,随机取出一个,则估计得到的苹果质量落在[114.5,124.5]内的概率为 .
4.(教材改编题)小明和小展按如下规则做游戏:桌面上放有5支铅笔,每次取1支或2支,最后取完铅笔的人获胜,你认为这个游戏规则 .(填“公平”或“不公平”)
三、解答题
5.为了研究某种油菜籽的发芽率,科研人员在相同条件下做了10批试验,油菜籽的发芽试验相关数据如下表:
批次 每批粒数 发芽的粒数
1 2 2
2 5 4
3 10 9
4 70 60
5 130 116
续表
批次 每批粒数 发芽的粒数
6 700 637
7 1 500 1 370
8 2 000 1 780
9 3 000 2 709
10 5 000 4 490
问题:
(1)如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率
(2)由各批油菜籽发芽的频率,可以得到频率具有怎样的特征
(3)如何估计该油菜籽发芽的概率近似值
6.某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心 次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的 频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少
(2)假如该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少
(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗 10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
基础知识
1.缩小 稳定于
2.[0,1]
3.随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.
基础巩固
1.C 由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为=.
由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
2.B 对于A、C、D,甲胜,乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数小于等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平.
3.B 因为投球一次即进行一次试验,投球10次,投进8次,即事件A发生的频数为8,所以事件A发生的频率为=.
4.B 由表可知,男婴出生的频率依次是0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概率约为0.5.
5.BC 计算表中1至5次调查读者满意的频率依次是0.998,0.998,0.998,0.999,0.997,故AB不正确,D正确;
在5次“读者问卷调查”中,收到的反馈信息是“读者对此畅销书满意的概率约是P(A)=0.998”,用百分数表示就是P(A)=99.8%.
6.BC 对于A,应为出现正面的频率是,故A错误;对于B,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率,故B错误;对于C,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率,故C正确;对于D,任取100件产品,次品的件数是随机的,故D正确.
7.解析：设初中部有n名学生,
依题意得=,解得n=1 250.
所以该中学初中部共有学生大约1 250名.
答案:1 250
8.解析：掷两枚硬币,所有可能的结果为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).
其点数和分别为4,3,3,2,所以选二班和选四班的概率都是,选三班的概率为=.
故选三班的概率最大.
答案:三
9.解析：(1)当试验次数很多时,出现正面的比例在0.5附近摆动.
(2)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.
(3)事件A发生的频率趋于稳定,在某个常数附近摆动.
(4)频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事件A发生的频率可能不相同;概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.
10.解析：(答案不唯一)(1)选取英文书籍任意一页,一共637个字母,其中元音字母出现频数和频率如下:
A出现38次,频率为:5.97%
E出现96次,频率为:15.07%
I出现47次,频率为:7.38%
O出现52次,频率为:8.16%
U出现12次,频率为:1.88%
(2)可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近,因为统计数据较小,有很强的偶然性,题表中的统计数据为40多万个单词.随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小.
素养提升
1.B 由题意知合格率为98%,则次品率为1-98%=2%,故8 000件产品中的次品件数为8 000×2%=160(件).
2.C 由已知得第二小组的频率是
1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40,频数为40,设共有参赛学生x人,则x×0.4=40,所以x=100.因为成绩优秀的频率为0.10+0.05=0.15,所以估计成绩优秀的概率为0.15.
3.解析：10个苹果中,质量落在区间[114.5,124.5]内的有4个,频率为=0.4,所以苹果质量落在区间[114.5,124.5]内的概率可估计为0.4.
答案:0.4
4.解析：当第一个人第一次取2支时,还剩余3支,无论是第二个人取1支还是取2支,第一个人在第二次取铅笔时,都可取完,即第一个人一定能获胜,所以不公平.
答案:不公平
5.解析：(1)利用公式:频率=,可求出各批油菜籽发芽的频率.
(2)批次1的频率=1,批次2的频率=0.8,批次3的频率=0.9,批次4的频率≈0.857,批次5的频率≈0.892,批次6的频率=0.91,批次7的频率≈0.913,批次8的频率=0.89,批次9的频率=0.903,批次10的频率=0.898,当试验次数越来越多时,频率越来越趋近于一个常数.
(3)由(2)可知,当试验次数越来越多时,频率在0.9附近波动,由此估计该油菜籽发芽的概率约为0.9.
6.解析：(1)由题意得,击中靶心的频率与0.9接近,故击中靶心的概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270(次).
(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定击不中靶心.
