8.6.3 平面与平面垂直(一)
基础知识
1.垂直
2.根据等角定理,取不同点时,角都是相等的.
3.直二面角
4.垂线
5.能.定义既是判定也是性质.
基础巩固
1.D 如图所示,二面角A-BC-D为直二面角,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,因为二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定.
2.C 因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β.
因为m α,由面面垂直的判定定理,所以α⊥β.
3.D 因为BC⊥AD,AD⊥BD,BC∩BD=B,
所以AD⊥平面BCD.
因为AD 平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.
4.C 因为PE⊥α,PF⊥β,
所以P,E,F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线,垂足为O,
连接OF,易知l⊥OF且P,E,O,F四点共面,
则∠FOE为二面角的平面角,如图所示.
此时,∠FOE+∠EPF=180°,
所以二面角α-l-β的平面角为120°.
当点P的位置如图所示时,
此时∠FOE=∠EPF,所以二面角α-l-β的平面角为60°.
5.CD 对于A,若直线AB与α相交,则不存在过直线AB的平面与α平行,故A错误;
对于B,当直线AB与α平行时,平面α内不存在直线与直线AB相交,故B错误;
对于C,无论直线AB与α平行,还是直线AB与α相交,在α内都存在直线与直线AB垂直,故C正确;
对于D,无论直线AB与α平行,还是直线AB与α相交,都存在过直线AB的平面与α垂直,故D正确.
6.ABD 可画出对应图形,如图所示,
则BC∥DF,又DF 平面PDF,BC 平面PDF,
所以BC∥平面PDF,故A成立;
由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,
知DF⊥AE,DF⊥PE,所以DF⊥平面PAE,
故B成立;又DF 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立.
7.解析：因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.
又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,
所以BD⊥平面PAC.又因为BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
答案:BD⊥平面PAC
8.解析：取AB中点M,连接PM,MC,
则PM⊥AB,CM⊥AB,
所以∠PMC就是二面角P-AB-C的平面角.
在△PAB中,PM==1,
同理MC=1,则△PMC是等边三角形,
所以∠PMC=60°.
答案:60°
9.证明：由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1 平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,
所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.
又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.
又DC1 平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.
10.解析：因为E为SC的中点,且SB=BC,
所以BE⊥SC.又DE⊥SC,BE∩DE=E,
所以SC⊥平面BDE,所以BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD,SC∩SA=S,
所以BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE,
所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.
设SA=AB=1,
在△ABC中,因为AB⊥BC,
所以SB=BC=,AC=,所以SC=2.
在Rt△SAC中,∠DCS=30°,
所以∠EDC=60°,即二面角E-BD-C为60°.
素养提升
1.C 如图所示,
连接AC交BD于O,连接A1O,∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.
设A1A=a,则AO=a,
所以tan∠A1OA==.
2.B 因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC,又AD⊥圆柱的底面,
所以AD⊥BC,因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC 平面BCD,
所以平面BCD⊥平面ACD.
3.解析：因为在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,所以BD⊥AC.
因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BD.
因为SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.
因为BD 平面PBD,
所以平面PBD⊥平面SAC.
答案:平面SAC
4.解析：设折叠后点A到A1的位置,
取BD的中点E,连接A1E,CE.
则BD⊥CE,BD⊥A1E.
于是∠A1EC为二面角A1-BD -C的平面角.
故∠A1EC=60°.
因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.
所以A1E=CE=A1C=a.
答案:a
5.解析：(1)因为AB⊥侧面BCC1B1,
所以AB⊥平面EFM,
又因为M,E分别为BB1,CC1的中点,
所以四边形MBCE为正方形,
所以△MEF的面积为S△MEF=ME·MB
=×2×2=2.
所以三棱锥A-EFM的体积为V三棱锥A-EFM
=S△MEF·AB=×2×2=,
所以三棱锥E-AFM的体积为.
(2)长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BCC1B1是矩形,
因为E,M分别为棱CC1,BB1的中点,且BB1=4,B1C1=2,
所以四边形MEC1B1是正方形,
所以C1M⊥B1E,
又N,M分别为棱AA1,BB1的中点,
所以NM⊥平面BCC1B1,
又B1E 平面BCC1B1,
所以NM⊥B1E,
又因为NM∩C1M=M,NM,C1M 平面C1MN,
所以B1E⊥平面C1MN,
又B1E 平面B1D1E,
所以平面B1D1E⊥平面C1MN.
6.证明：(1)如图所示,连接DG,
设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,
所以AC=2DF.
因为G是AC的中点,
所以DF∥GC,且DF=GC,
所以四边形CFDG是平行四边形,
所以DM=MC.
因为BH=HC,所以MH∥BD.
又BD 平面FGH,MH 平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
(2)因为G,H分别为AC,BC的中点,
所以GH∥AB.
因为AB⊥BC,所以GH⊥BC.
又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,
所以四边形EFCH是平行四边形,
所以CF∥HE.
因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.
又HE,GH 平面EGH,HE∩GH=H,
所以BC⊥平面EGH.
又BC 平面BCD,
所以平面BCD⊥平面EGH.8.6.3 平面与平面垂直(一)
基础知识
1.二面角的平面角
定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
2.为什么二面角的平面角大小与在二面角棱上的取点无关
3.平面与平面垂直
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
4.判定定理
如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直.
5.定义能否作为判定两个平面垂直的依据
基础巩固
一、单选题
1.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
3.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则 ( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
4.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若
∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是 ( )
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
二、多选题
5.设α是给定的平面,A,B是不在α内的任意两点,则 ( )
A.在α内存在直线与直线AB平行
B.在α内存在直线与直线AB相交
C.在α内存在直线与直线AB垂直
D.存在过直线AB的平面与α垂直
6.在棱长都相等的四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面结论中成立的是 ( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
三、填空题
7.阅读下面题目及其证明过程,在横线处填写上正确结论.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.
求证:平面PAC⊥平面BDE.
证明:因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,
所以 .
又因为BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
8.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,PC=1,AB=2 ,则二面角P-AB-C的大小为 .
四、解答题
9.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D是棱AA1的中点.
证明:平面BDC1⊥平面BDC.
10.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
素养提升
一、选择题
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于( )
A. B. C. D.
2.已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有 ( )
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
二、填空题
3.如图,在四棱锥S -ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,点P是侧棱SC上一动点,则图中一定与平面PBD垂直的平面是 .
4.将锐角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折叠,使半平面ABD与半平面CBD为60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为 .
三、解答题
5.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,AA1=4,点E,F,M,N分别为棱CC1,BC,BB1,AA1的中点.
(1)求三棱锥E-AFM的体积;
(2)求证:平面B1D1E⊥平面C1MN.
6.如图,在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.
