4.3等比数列课时同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 4.3等比数列课时同步练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 247.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-28 16:26:16 | ||
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文档简介
4.3 等比数列
课时同步练习
1．已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．31 B．15 C．8 D．7
2.在等比数列中，已知，那么（ ）
A．4 B．6 C．12 D．16
3．已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．512 C．1024 D．
4．在等比数列中，已知，，则（ ）
A．128 B．64 C．64或 D．128或
5．设等比数列的前项和为，，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
6．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．等比数列的前项和为，是与的等比中项，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
9.（多选题）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路
11．（多选题）已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．在等比数列中，，，则________.
13．在数列中，，且，则__________.
14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
（结果保留一位小数，参考数据： ， ）
15．（2020·江西省高二月考（理））已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列。
(1)求的通项公式。
(2)求数列的前n项和。
16．已知等差数列的前n项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和Tn.
17．已知数列的前n项和为Sn，且满足，设．
（1）求；
（2）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（3）求数列的前n项和Sn．
18．在数列中，，，（且）.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
1.【答案】B
【解析】
由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.
故选：B.
2.【答案】A
【解析】
由,
所以,
则.
故选A.
3.【答案】A
【解析】
.
.
.解得:.
.
故选:A
4.【答案】D
【解析】
设等比数列的公比为，
由，解得，
当时，，得，则；
当时，，得，则
.综上或，
故选：D.
5.【答案】A
【解析】
,;
或；等比数列公比不能为0，
故选：A
6.【答案】B
【解析】
由题意，可知这堆货物的总价为，则
，
两式相减可得：
，
所以，
当时，
解得：.
故选：B
7.【答案】B
【解析】
设数列的公比为，则由，得，易知，所以解得或，当时，，这与是与的等比中项矛盾，
当时，由是与的等比中项，得，即，所以，
故选：B.
8.【答案】AD
【解析】
①, 与题设矛盾.
②符合题意.
③与题设矛盾.
④ 与题设矛盾.
得，则的最大值为.
B，C，错误.
故选：AD.
9.【答案】BC
【解析】
因为数列是公比为的等比数列,则,
对于选项A,,因为不是常数,故A错误；
对于选项B,,因为为常数,故B正确；
对于选项C,,因为为常数,故C正确；
对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.
故答案为:BC
10.【答案】ACD
【解析】
设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，
因为，所以，解得，
对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于 ，所以B不正确；
对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，由于，所以D正确，
故选：ACD
11.【答案】AD
【解析】
成等比数列，设公比为.
，
，
整理得，即.
令，则.
由，得或；由，得，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
的极大值为，极小值为.
又，在区间上有一个零点.
即时，，.
，等比数列中，均为负数，均为正数.
.
故选：.
12.【答案】12
【解析】
设等比数列公比为,则.
故.
故答案为：12
13.【答案】
【解析】
因为，，所以，
故数列是以2为首项、2为公比的等比数列，
由等比数列前n项和公式可得，.
故答案为：
14.【答案】2.6．
【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其，公比为 ，其前 项和为 ．
则，
令 ，
化为： ，
解得 或 （舍去）．
即： .
所需的时间约为 日.
15.【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意，得，，
所以由，
得，
解得，
所以，
即。
（2）由（1）知，
则，，
。
16.【答案】(1);(2)
【解析】
(1)设公差为d，则
解得：
∴
所以数列的通项公式为;
(2)由(1)得
∴
17.【答案】（1）；（2）数列是等比数列，理由见解析；（3）
．
【解析】
（1），解得．，解得．
，解得．
（2）时，，相减可得：，
变形为：
由．可得：．
∴数列是等比数列，首项为，公比为．
（3）由（2）可得：
则．
．
18.【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：∵，
∴，
又，，；
∴（，且），
故数列是首项和公比都是2的等比数列；
（2）解：由（1）可得，
则（，且），
故
（，且），
当时，满足上式，
∴.
课时同步练习
1．已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A．31 B．15 C．8 D．7
2.在等比数列中，已知，那么（ ）
A．4 B．6 C．12 D．16
3．已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．512 C．1024 D．
4．在等比数列中，已知，，则（ ）
A．128 B．64 C．64或 D．128或
5．设等比数列的前项和为，，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
6．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．等比数列的前项和为，是与的等比中项，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
9.（多选题）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路
11．（多选题）已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．在等比数列中，，，则________.
13．在数列中，，且，则__________.
14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
（结果保留一位小数，参考数据： ， ）
15．（2020·江西省高二月考（理））已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列。
(1)求的通项公式。
(2)求数列的前n项和。
16．已知等差数列的前n项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和Tn.
17．已知数列的前n项和为Sn，且满足，设．
（1）求；
（2）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（3）求数列的前n项和Sn．
18．在数列中，，，（且）.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
1.【答案】B
【解析】
由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.
故选：B.
2.【答案】A
【解析】
由,
所以,
则.
故选A.
3.【答案】A
【解析】
.
.
.解得:.
.
故选:A
4.【答案】D
【解析】
设等比数列的公比为，
由，解得，
当时，，得，则；
当时，，得，则
.综上或，
故选：D.
5.【答案】A
【解析】
,;
或；等比数列公比不能为0，
故选：A
6.【答案】B
【解析】
由题意，可知这堆货物的总价为，则
，
两式相减可得：
，
所以，
当时，
解得：.
故选：B
7.【答案】B
【解析】
设数列的公比为，则由，得，易知，所以解得或，当时，，这与是与的等比中项矛盾，
当时，由是与的等比中项，得，即，所以，
故选：B.
8.【答案】AD
【解析】
①, 与题设矛盾.
②符合题意.
③与题设矛盾.
④ 与题设矛盾.
得，则的最大值为.
B，C，错误.
故选：AD.
9.【答案】BC
【解析】
因为数列是公比为的等比数列,则,
对于选项A,,因为不是常数,故A错误；
对于选项B,,因为为常数,故B正确；
对于选项C,,因为为常数,故C正确；
对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.
故答案为:BC
10.【答案】ACD
【解析】
设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，
因为，所以，解得，
对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于 ，所以B不正确；
对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，由于，所以D正确，
故选：ACD
11.【答案】AD
【解析】
成等比数列，设公比为.
，
，
整理得，即.
令，则.
由，得或；由，得，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
的极大值为，极小值为.
又，在区间上有一个零点.
即时，，.
，等比数列中，均为负数，均为正数.
.
故选：.
12.【答案】12
【解析】
设等比数列公比为,则.
故.
故答案为：12
13.【答案】
【解析】
因为，，所以，
故数列是以2为首项、2为公比的等比数列，
由等比数列前n项和公式可得，.
故答案为：
14.【答案】2.6．
【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其，公比为 ，其前 项和为 ．
则，
令 ，
化为： ，
解得 或 （舍去）．
即： .
所需的时间约为 日.
15.【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意，得，，
所以由，
得，
解得，
所以，
即。
（2）由（1）知，
则，，
。
16.【答案】(1);(2)
【解析】
(1)设公差为d，则
解得：
∴
所以数列的通项公式为;
(2)由(1)得
∴
17.【答案】（1）；（2）数列是等比数列，理由见解析；（3）
．
【解析】
（1），解得．，解得．
，解得．
（2）时，，相减可得：，
变形为：
由．可得：．
∴数列是等比数列，首项为，公比为．
（3）由（2）可得：
则．
．
18.【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：∵，
∴，
又，，；
∴（，且），
故数列是首项和公比都是2的等比数列；
（2）解：由（1）可得，
则（，且），
故
（，且），
当时，满足上式，
∴.