与圆有关的最值问题（结合图像）
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d-r,最大值为d+r
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d-r，最大值为d+r
3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为，最大值为2r
4.过圆外一点P的直线与圆O相切，切线长为
5.直线l与圆相离，过直线上一点P作圆的切线，切线长最小值为（d为圆心到直线的距离）
1. 已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值( )
A. B. 2 C. 2 D. 4
2. 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
3. 已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为( )
A. B. C. 1 D. 3
4. 圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为________，最小弦长____.
5. 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，直线l被圆截得的弦长最短时，直线l的方程为( )
A. x＋2y－5＝0 B. 2x－y－5＝0 C. x＋2y＋5＝0 D. 2x－y＋5＝0
6. 若过点P(0,1)作直线l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相切，则切线长为________，直线l的方程为________．
7. 由直线y＝x＋1上的一点A向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________.
8. 已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为( )
A. 2 B. C. D. 1
9. 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．与圆有关的最值问题
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d-r,最大值为d+r
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d-r，最大值为d+r
3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为，最大值为2r
4.过圆外一点P的直线与圆O相切，切线长为
5.直线l与圆相离，过直线上一点P作圆的切线，切线长最小值为（d为圆心到直线的距离）
1. 已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A. B. 2 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
则圆心为(2,0)，半径r＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为，
|AB|的最小值为2＝2.
2. 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
3. 已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为( )
A. B. C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.
4. 圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为________，最小弦长为________.
【答案】10 2
5. 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，直线l被圆截得的弦长最短时，直线l的方程为( )
A. x＋2y－5＝0 B. 2x－y－5＝0
C. x＋2y＋5＝0 D. 2x－y＋5＝0
【答案】B
【解析】由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，过定点(3,1)，∴要使直线l被圆截得的弦长最短，则圆心C与定点距离即为点线距离，∴＝，解得m＝－，
∴－x＋y＋＝0，整理得2x－y－5＝0．故选B．
6. 若过点P(0,1)作直线l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相切，则切线长为________，直线l的方程为________．
【答案】3 y＝1或3x＋4y－4＝0
【解析】如图，过点P作圆C的一条切线，切点为Q，连接PC，CQ，则三角形PCQ为直角三角形，
且∠CQP＝90°.
而|CP|2＝32＋12＝10，|CQ|＝r＝1，
所以|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝10－1＝9，
则|PQ|＝3.
依题意斜率存在，可设直线l：y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0，
圆心C(3,0)到直线l的距离为d＝＝1，
整理得4k2＋3k＝0，
解得k＝－或k＝0，
故直线l的方程为y＝1或3x＋4y－4＝0.
7. 由直线y＝x＋1上的一点A向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________.
【答案】
【解析】由x2－6x＋y2＋8＝0，得(x－3)2＋y2＝1，故C(3，0)，r＝1.当AC与直线y＝x＋1垂直时，切线长取得最小值.又圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，故切线长的最小值为＝＝.
8. 已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为( )
A. 2 B. C. D. 1
【答案】D
【解析】如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，
当PC⊥l时，|PC|最小时，|PM|最小．
由题意得|PC|min＝d＝＝2，
所以()2＝22－r2，∴r＝1.
9. 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋2
＝2＋9.
所以当x＝－时，＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．
