第五章 三角函数 章节练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

人教A版（2019）必修第一册《第五章 三角函数》章节练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知是第三象限角，若，则的值为

A. B. C. D.
2.（5分）已知函数的部分图象如图所示，则和的值分别为
A. ； B. ； C. ； D. ；
3.（5分）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称
4.（5分）已知函数的一部分图象如图所示，则函数表达式为
A. B.
C. D.
5.（5分）要得到函数的图象，需要把函数的图象
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
6.（5分）已知定义在上的函数满足条件，且函数为偶函数，当时，，则方程在上的实根之和为
A. B. C. D.
7.（5分） 若，为锐角，，，则
A. B. C. D.
8.（5分）已知，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知角是锐角，若，是关于的方程的两个实数根，则实数和的关系式中一定成立的是
A. B. C. D.
10.（5分）已知函数，，则
A.
B. 在区间上只有个零点
C. 的最小正周期为
D. 为图象的一条对称轴
11.（5分）在中，若，则等于
A. B. C. D.
12.（5分）已知函数，下列叙述不正确的是
A. 的最小正周期是
B. 在上单调递增
C. 图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
13.（5分）下列命题中，正确的是
A. 在中，，
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若，则等于______．
15.（5分）用表示不超过的最大整数，如对于下面关于函数的四个命题：
函数的定义域为，值域为；
函数的图象关于轴对称；
函数是周期函数，最小正周期为；
函数在上是增函数．
其中正确命题的序号是______写出所有正确命题的序号
16.（5分）若，且，则______．
17.（5分）若，，则________.
18.（5分）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是__________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，为三个相邻的自然数，且．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若，，求的值．
20.（12分）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记．
用角表示，的长度；
当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．
21.（12分）已知函数的图象如图所示.
求函数的表达式；
将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数在上的值域.
22.（12分）已知角的终边在直线上，求，，的值.
23.（12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位，所得函数为奇函数，函数的最大值为．
求的解析式；
求的单调增区间；
若，求的值域．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了三角函数知识的综合运用，利用同角三角函数之间的关系进行化简即可；

解：是第三象限角，，若是奇数，是第四象限角，若是偶数，是第二象限角，，是第二象限角，，，
故选
2.【答案】A;
【解析】解：据图可得，所以，
则，由，
得，则，，
因为，所以
故选：
先利用特殊点求出周期，进而求出的值，然后再利用最低点求出的值．
此题主要考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．
3.【答案】A;
【解析】
这道题主要考查正弦型函数的最小正周期的求法和对称性，属于基础题．
先根据最小正周期的值求出的值，确定函数的解析式，然后令，，求出的值，得到原函数的对称点，然后对选项进行验证即可．

解：由函数的最小正周期为，得，
由，，得，，
所以对称点为，
当时，对称点为，
故选A．
4.【答案】B;
【解析】
这道题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查学生基础知识的运用和图象观察能力，属于中档题．
由的部分图象根据正弦函数的性质先求出，，，的值，即可确定其解析式．

解：由题图可得
解得，，，，
故选B．

5.【答案】D;
【解析】解：把函数 的图象向右平移个单位，
可得 的图象，
故选：．
根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．
此题主要考查函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于基础题．
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
由已知可得是周期为的周期函数，且的图象关于直线对称，画出图象，数形结合得答案．

解：由，得，则是周期为的周期函数．
又函数为偶函数，的图象关于轴对称，则的图象关于直线对称．
又当时，，
作出函数的图象如图：

由图可知，函数的图象与的图象在上有个交点，且两两关于直线对称，
方程在上的实根之和为
故选：
7.【答案】A;
【解析】
此题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．
由条件利用同角三角函数的基本关系求得，，根据，利用两角和的正弦公式计算即可．

解：，，，均为锐角，，
．
，
，
．
故选A．


8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查二倍角公式及其应用 ，属于基础题；
由即可求解.
解：，
，

故选
9.【答案】BD;
【解析】解：因为，不一定相等，错误；
由题可得，，错误；
因为，
正确；
因为角是锐角，
所以
所以，正确．
故选：
结合方程的根与系数关系及同角平方关系逐一分析各个选项即可求解．
此题主要考查了方程的根与系数关系及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题．
10.【答案】ACD;
【解析】
该题考查了函数的图象与性质，利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式化简，再利用三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．
解：已知函数，，
则、正确，
、当，，即，， 在区间上只有个零点，则 在区间上只有个零点错误，
、 的最小正周期为，正确
、当时，函数，，
所以为图象的一条对称轴，正确．
故选：．
11.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换及正弦定理等知识，属于中档题．
根据三角形内角和定理与诱导公式，可得，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得，可得或，再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．

解：，
，
又，
，
即，
化简得，即，
解之得或
若，结合为三角形的内角，可得，
，，
因此，即
若，由正弦定理得，所以
综上所述，的值为或
故选
12.【答案】ABC;
【解析】解：，，所以不对；
令，，单调递增，单减．不对；
时，不是最大值或最小值，所以不对；
函数关于点对称，的图象关于点对称，正确．
故选：
先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
此题主要考查了二倍角及辅助角公式，正弦函数的性质，属于中档题．
13.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形边角的关系．着重考查了利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
项中利用正弦定理可判断；项利用三角形角的范围和诱导公式可判断；项中，利用正弦定理得到，结合诱导公式及三角形的性质可判断；
项中由已知和余弦定理整理得，由三角形的性质得则必是等边三角形.
解：项，在中，由正弦定理可得，所以，故正确；
项，在锐角中，，且，则，
所以，故正确；
项，在中，由，利用正弦定理可得，
则，得到或，故或，
即是等腰三角形或直角三角形，故错误；
项，在中，若，，由余弦定理可得，，所以，即，解得，又，
所以必是等边三角形，故正确．
故选
14.【答案】;
【解析】解：由，得，
即，则．
．
故答案为：．
由已知展开两角差的正切求得，再由倍角公式及弦化切求解．
此题主要考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差正切的应用，是基础题．
15.【答案】③④（写对一个给2分，多写不给分）;
【解析】解：由题意可知：，函数的最大值取不到，故不对；
，，则
函数的图象不关于轴对称，故不对；
又知函数每隔一个单位重复一次，，所以函数是以为周期的函数，故正确；
在上，函数在上是增函数，故正确；
故答案为 ．
根据题意，以此分析个命题：通过函数的值域可知是否正确，通过举反例，可得不正确，通过周期函数的定义可知是否正确，化简函数在上的解析式可知函数在上的单调性，综合可得答案．
该题考查的是分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、特值的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．
16.【答案】;
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
由题意可得，即可求出，再根据同角的三角函数的关系即可求出
该题考查了两角差的正弦公式，二倍角公式，同角的三角函数的关系，属于中档题
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，基础题
化简得，从而得到，代入求解即可

解：因为，
所以，
又因为，
所以，
所以
所以
故答案为
18.【答案】或
;
【解析】
此题主要考查扇形的圆心角，设扇形的圆心角的弧度数为，圆的半径为，利用扇形的周长是，面积是，即可求出扇形的圆心角的弧度数.
解：设扇形的圆心角的弧度数为，圆的半径为，则，
所以
故答案为或
19.【答案】解：（Ⅰ）证明：不妨设a=n+1，b=n，c=n-1，
由正弦定理==2cosθ，①
由余弦定理：2cosθ==，②
联立①②，可得n=5，可得三角形的三边长为，6，4，5，
由余弦定理可得cosB==，cosC==，
故cosB=coC，得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC=，
故sin（θ+C）=sinθ+cosθ=，
由coθ+siθ=1，
解得cosθ=，
将cosθ=代入，解得sinθ＜0，这与θ∈（0，π）矛盾，舍去；
将cosθ=代入，符合题意，
综上cosθ=．;
【解析】
Ⅰ不妨设，，，由正弦定理可得，由余弦定理可得，联立解得三角形的三边长，分别求出，即可证明．
Ⅱ由Ⅰ转化可求，结合，解得的值，根据范围即可判断得解．
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：（1）在Rt△OBC中：OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中：=tan=1，
∴OA=AD=BC=sinα，AB=OB-OA=cosα-sinα；
（2）矩形ABCD的面积S=AB BC=（cosα-sinα）sinα
=cosαsinα-siα
=sin2α-
=（sin2α+cos2α）-
=（sin2α+cos2α）-
=sin（2α+）-，
由0＜α＜，得＜2α+＜，
所以当2α+=，即α=时，Smax=-．;
【解析】
在中：，，利用直角三角形中的边角关系求出，可得；
矩形的面积，再利用三角恒等变换化为，利用正弦函数的定义域和值域求得面积的最大值．
此题主要考查三角函数的恒等变换，直角三角形中的边角关系，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
21.【答案】解：由图象可得，最小正周期，则，
由，所以，，
又，则易求得，
所以；
将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，
把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的曲线，
则

，
由，，
则，，
故在上的值域是;
【解析】此题主要考查利用三角函数图象求解析式，考查三角函数求值域的问题，属于中档题.
根据图象可得，最小正周期，则，由求得，即可得解；
由条件可得，根据所给的范围即可得解．
22.【答案】解：因为角的终边在直线上，
当角的终边在第一象限时，在的终边上取点，
则，，
当角的终边在第三象限时，在的终边上取点，
则，，;
【解析】此题主要考查三角函数的定义，属于基础题.
角的终边在直线上，分为角的终边在第一象限和第三象限两种情况，然后用三角函数定义求解即可.
23.【答案】解：，
，
．
又为奇函数，且，
则，
得，
又函数的最大值为，
得，
故；
令，，
求得，，
故函数的增区间为；
，
，
，
，
可得若，的值域为．;
【解析】这道题主要考查函数的平移和解析式，正弦函数的单调性及值域，属于中档题．
由周期求得，由函数为奇函数求得，再由的最大值求得的值，从而得到函数的解析式．
令，，求得的范围，即可得到函数的增区间．
由已知可求，利用正弦函数的性质可求，即可得解．