第三章圆锥曲线的方程 拔高卷-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程 拔高卷-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 689.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-28 16:43:06 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程 拔高卷
一、单选题
1．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
3．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
7．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0) (-2,0) B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△的面积为
11．（多选题）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则
12．为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
三、填空题
13．已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 __．
14．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．
15．甲 乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲 乙两人分别站在洞内如图所示的A B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲 乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
16．已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．
四、解答题
17．已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
18．已知，当m为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．
19．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．
20．如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．
21．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.
（1）求C与D的方程；
（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值。
参考答案
1--10DBBAB CCB
9．BCD 10．BCD 11．ABD 12．AC
13．
14．
15．
16．(，]
17．
18．（1）
若方程表示椭圆，则，解得3（2）
方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m－3>11－m>0，解得7（3）
方程表示焦点在y轴上的椭圆，则11－m>m－3>0，解得319．（1）解：圆的圆心为，半径，
由点在的垂直平分线上，得，
所以，
所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，
所以，，，
所以的方程为；
（2）
证明：①当直线的斜率不存在时，易知，
②当直线的斜率存在时，设：，，，
则把代入得，
显然，有，，
，
所以，
综上所述，为定值．
20．（1）
解：根据题意得：，解得，，，
所以，抛物线焦点，
所以，椭圆，拋物线
（2）
解：设，
联立与椭圆，
整理得：，
判别式：
弦长公式：
点到直线的距离为
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
点到直线的距离为
所以，
因为，即，解得： .
所以，直线在轴上截距或，
所以，直线在轴上截距取值范
21．解：（1）因为D的离心率为，即，
解得：，
所以D的方程为：；焦点坐标为，
又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，
所以，所以，
所以C的方程为：；
（2）①如图：
因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以，
联立，消化简得：，
所以，解得，
所以且；
②设，
由①得：，
，
所以，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
22．（1）设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
一、单选题
1．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
3．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
7．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0) (-2,0) B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△的面积为
11．（多选题）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则
12．为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
三、填空题
13．已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 __．
14．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．
15．甲 乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲 乙两人分别站在洞内如图所示的A B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲 乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
16．已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．
四、解答题
17．已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．
18．已知，当m为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．
19．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．
20．如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．
21．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.
（1）求C与D的方程；
（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值。
参考答案
1--10DBBAB CCB
9．BCD 10．BCD 11．ABD 12．AC
13．
14．
15．
16．(，]
17．
18．（1）
若方程表示椭圆，则，解得3
方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m－3>11－m>0，解得7
方程表示焦点在y轴上的椭圆，则11－m>m－3>0，解得3
由点在的垂直平分线上，得，
所以，
所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，
所以，，，
所以的方程为；
（2）
证明：①当直线的斜率不存在时，易知，
②当直线的斜率存在时，设：，，，
则把代入得，
显然，有，，
，
所以，
综上所述，为定值．
20．（1）
解：根据题意得：，解得，，，
所以，抛物线焦点，
所以，椭圆，拋物线
（2）
解：设，
联立与椭圆，
整理得：，
判别式：
弦长公式：
点到直线的距离为
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
点到直线的距离为
所以，
因为，即，解得： .
所以，直线在轴上截距或，
所以，直线在轴上截距取值范
21．解：（1）因为D的离心率为，即，
解得：，
所以D的方程为：；焦点坐标为，
又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，
所以，所以，
所以C的方程为：；
（2）①如图：
因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以，
联立，消化简得：，
所以，解得，
所以且；
②设，
由①得：，
，
所以，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
22．（1）设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．