《一元二次函数、方程和不等式》测试
一、单选题
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
由得，故，其子集个数为.
故选B.
2．已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 对于选项A,令,时,,故A不正确；
对于选项C,,故C不正确；
对于选项D,令,时,,故D不正确；
对于选项B,,则
故选：B
3．已知，关于的一元二次不等式的解集为（ ）
A．，或 B．
C．，或 D．
【答案】B
【解析】依题意可化为，由于，
故不等式的解集为.
故选B.
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当时，，当且仅当，即时取等号，
当时，可得或，得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5．若方程只有正根，则m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【解析】
方程只有正根，则
当，即时，
当时，方程为时，，符合题意；
当时，方程为时，不符合题意.
故成立；
当，解得或，
则，解得.
综上得.
故选B.
6．若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【解析】 由于，所以，由此可知：
①，所以①正确. ②，所以②错误. ③错误.
④由于，所以，有基本不等式得，所以④正确.
综上所述，正确不等式的序号是①④.
故选：A
7．“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是 ( )
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以函数的图象始终落在轴的上方，
即，解得，
因为要找其必要不充分条件，从而得到是对应集合的真子集，
对比可得C选项满足条件，
故选C.
8．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】
不等式x2+ax+1≥0对一切成立，等价于a≥-x-对于一切成立，
∵y=-x-在区间上是增函数
∴
∴a≥-
∴a的最小值为-故答案为C．
二、多选题
9．已知集合，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
由解得，故,.
故选AD.
10．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.
故选AD.
11．下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
对于A，对应函数开口向下，显然解集不为；
对于B，，对应的函数开口向上，，其解集为；
对于C，，对应的函数开口向上，其解集为；
对于D，对应的函数开口向下，其解集为；
故选：BCD.
12．若“”是“”的充分不必要条件，
则实数可以是（ ）
A．-8 B．-5 C．1 D．4
【答案】ACD
【解析】
，解得，
即，解得或，
由题意知 ，所以或，
故选：ACD
三、填空题
13．不等式的解集是________.
【答案】
【解析】 原不等式可化为即，所以，
故，
14．设，，那么的取值范围是________．
【答案】
【解析】 因为，，
所以，，
∴.
故答案为：.
15．已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
若命题“，”是假命题，则“，”为真命题，
则只需满足，解得.
故答案为：.
16．设a>0，b>0，给出下列不等式：
① a2＋1>a； ② ；
③ (a＋b)≥4； ④ a2＋9>6a.
其中恒成立的是________.(填序号)
【答案】①②③
【解析】由于a2＋1－a＝，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2，
∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
由于a＋b≥2，，
故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
故答案为：①②③
五、解答题
17．已知不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】.
【解析】
由题意不等式的解集为，
则，解得，
代入不等式，可得，
即，解得，
所以所求不等式的解集为.
18．已知，都是正数.求证：
；
【答案】证明见解析；证明见解析.
【解析】
证明：由，都是正实数，可得（当且仅当时取得等号）；
证明：由基本不等式可知
，
（当且仅当时取得等号）.
19．日常生活中，在一杯含有克糖的克糖水中，再加入克糖，则这杯糖水变甜了.
请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
【答案】，，，证明见解析
【解析】
由题知：原来糖水的浓度为，
加入克糖后的浓度为，，.
因为这杯糖水变甜了，所以，
整理得：，，.
因为，
又因为，，所以，，，
所以，即证.
20．（1）已知，求的最小值．并求此时的值；
（2）设，求函数的最大值；
（3）已知，求的最小值；
（4）已知，，且，求的最小值；
【答案】（1）当时，取得最小值；（2）；（3）6；（4）
【解析】
（1）因为，所以，当且仅当，即时取等号；故当时，取得最小值；
（2），．
．
当且仅当，即时，等号成立．
，
函数的最大值为．
（3），
，当且仅当时取等号，即时，的最小值为，
（4），，，．
当且仅当时，上式等号成立，又，，时，．
21．已知关于x的不等式．
（1）若不等式的解集是或，求k的值．
（2）若不等式的解集是，求k的值．
（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围．
（4）若不等式的解集是，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
（1）由不等式的解集为或可知，
且与是方程的两根，，解得．
（2）由不等式的解集为可知，解得．
（3）依题意知解得．
（4）依题意知解得．
22．解关于的不等式.
【答案】当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【解析】
原不等式可化为，即，
①当时，原不等式化为，解得，
②当时，原不等式化为，
解得或，
③当时，原不等式化为.
当，即时，解得；
当，即时，解得满足题意；
当，即时，解得.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为《一元二次函数、方程和不等式》测试
一、单选题
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，关于的一元二次不等式的解集为（ ）
A．，或 B．
C．，或 D．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若方程只有正根，则m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
6．若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
7．“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是 ( )
A． B． C． D．或
8．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，则 ( )
A． B．
C． D．
10．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若“”是“”的充分不必要条件，
则实数可以是（ ）
A．-8 B．-5 C．1 D．4
三、填空题
13．不等式的解集是________.
14．设，，那么的取值范围是________．
15．已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是_________.
16．设a>0，b>0，给出下列不等式：
① a2＋1>a； ② ； ③ (a＋b)≥4； ④ a2＋9>6a.
其中恒成立的是________.(填序号)
五、解答题
17．已知不等式的解集为，求不等式的解集.
18．已知，都是正数.求证：
；
19．日常生活中，在一杯含有克糖的克糖水中，再加入克糖，则这杯糖水变甜了.
请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
20．（1）已知，求的最小值．并求此时的值；
（2）设，求函数的最大值；
（3）已知，求的最小值；
（4）已知，，且，求的最小值；
21．已知关于x的不等式．
（1）若不等式的解集是或，求k的值．
（2）若不等式的解集是，求k的值．
（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围．
（4）若不等式的解集是，求k的取值范围．
22．解关于的不等式.
