数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性（共26张ppt）

(共26张PPT)
5.3.1函数的单调性
导语
在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。
在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？
问题1: 判断函数单调性的方法有哪些
1.定义法：
2.图像法：
3.性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
问题探究
问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数
h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像.
图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=-9.8t+4.8的图象，是函数h(t)的零点。
运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
观察图像可以发现
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0
问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与的正负有内在联系，那么，我们能否由的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
对于高台跳水问题，可以发现：
当 时，函数的图像是“上升”的，
h(t)函数在上单调递增；
当 时，函数的图像是“下降”的，
h(t)函数在上单调递减。
这种情况是否具有一般性呢？
问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
如果恒有 ，则f(x)是常数。
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
角度一：根据原函数图象确定导函数图象
[解析]　由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
由表可知函数y＝f′(x)的图象，
当x∈[－1，b)时，在x轴下方；
当x∈[b，a)时，在x轴上方；
当x∈[a,1]时，在x轴下方．故选C.
[例1]　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的 (　　)
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零．
哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图象．
根据原函数图象确定导函数图象
角度二：由导函数图象确定原函数图象
[例2]　(1)已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是图中的 (　　)
x (－∞，0] (0,2] (2，＋∞)
f′(x) ＋ － ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
[解析]　(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：
由表可知f(x)在(－∞，0]内单调递增，在(0,2]内单调递减，在(2，＋∞)内单调递增，
故满足条件的只有C，故选C.
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 (　　)
通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；
根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢．　
解析：原函数的单调性是
当x<0时，增；
当x>0时，单调性变化依次为增、减、增．
故当 x<0时，f′(x)>0；
当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋故选C.
解析：当 0∴f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故选C.
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，
函数在解集所表示的定义域内为增函数；
(4)解不等式f′(x)<0，
函数在解集所表示的定义域内为减函数．
角度一：不含参数的函数求单调区间
角度二：含参数的函数求单调区间
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增
[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增．
∵a>0
1．讨论参数要全面，做到不重不漏．
2．解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，
也可转化为二次不等式求解．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞ )上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增.
所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
∴k≤0.
即k的取值范围为(－∞，0]．
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
解：f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不合题意．
∴k的取值范围是(0,1)．
1．利用导数求参数范围的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max；
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.　　
解析：由f(x)的图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，
单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，
因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，
当x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，
结合选项知选C.
解析：∵导数的正负确定了函数的单调性，
∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝a(a>0)，
∴函数在(－∞，0)上递减，
在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减，
故选C.
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1，
由题意知在R上f′(x)≤0恒成立，
则Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，
课堂小结
1.导数与函数单调性的关系
2.用导数求单调性的步骤
布置作业
课后练习1、2